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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 13.05.2008 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | Vergleich von 2 bijektiven Abbildungen g und h mit f, g: IR -> IR
Definitionen:
(a) f(x) = x
(b) g(x) = 2x
Für die Strecken der abgebildeten Funktionsgraphen gilt ja [mm] \wurzel{x^{2}+f(x)^{2}} [/mm] bzw. [mm] \wurzel{x^{2}+g(x)^{2}}
[/mm]
Bei einer Bijektion gilt ja immer |Definitionsbereich| = |Wertebereich|
Nur wie ist es jetzt mit den Punkten innerhalb analog abgebildeter Strecken? |
Nähme man z.B. das Intervall [0,1] für x, so ergibt sich für die Strecken:
(1) [mm] \wurzel{1^{2}+f(1)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2}+1^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{1}
[/mm]
(2) [mm] \wurzel{1^{2}+g(1)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{1^{2}+2^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Aber: [mm] \wurzel{1}\not=\wurzel{5}
[/mm]
Obwohl die Anzahl der Punkte jeweils |[0,1]| ist!!!
Wieso kann so etwas passieren. Wobei per Definition beide Graphenstücke dieselbe Menge an Punkten haben. Was passiert da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Di 13.05.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo msg08,
Du verwendest hier 2 verschiedene Arten von [mm]|\cdot |[/mm]:
Einmal meinst du damit die Kardinalität einer Menge; Diese bleibt unter einer Bijektivität gleich, wie du selbst gesagt hast.
Das andere Mal meinst du die Länge einer Kurve; Diese kann sich aber unter Abbildungen beliebig verändern, wie dein gerechnetes Beispiel zeigt.
> Wieso kann so etwas passieren. Wobei per Definition beide
> Graphenstücke dieselbe Menge an Punkten haben. Was passiert
> da?
Die Anzahl Elemente einer unendlichen Menge verhält sich unter Operationen wie Hinzufügen von endlich vielen Punkten oder 'verdoppeln' der Elemente nicht wie man sich das von endlichen Mengen gewöhnt ist. So kann man problemlos bijektive Abbildungen [mm]\IZ \to \IN[/mm] finden, obwohl [mm] \IZ [/mm] 'doppelt' so viele Elemente enthält.
Viele Grüsse,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 13.05.2008 | | Autor: | msg08 |
> Hallo msg08,
>
> Du verwendest hier 2 verschiedene Arten von [mm]|\cdot |[/mm]:
>
> Einmal meinst du damit die Kardinalität einer Menge; Diese
> bleibt unter einer Bijektivität gleich, wie du selbst
> gesagt hast.
> Das andere Mal meinst du die Länge einer Kurve; Diese kann
> sich aber unter Abbildungen beliebig verändern, wie dein
> gerechnetes Beispiel zeigt.
Ist nicht jedes Kurvenstück die Summe seiner Teile. Diese Teile sind als Punkte eindeutig definiert.
> > Wieso kann so etwas passieren. Wobei per Definition beide
> > Graphenstücke dieselbe Menge an Punkten haben. Was passiert
> > da?
>
> Die Anzahl Elemente einer unendlichen Menge verhält sich
> unter Operationen wie Hinzufügen von endlich vielen Punkten
> oder 'verdoppeln' der Elemente nicht wie man sich das von
> endlichen Mengen gewöhnt ist. So kann man problemlos
> bijektive Abbildungen [mm]\IZ \to \IN[/mm] finden, obwohl [mm]\IZ[/mm]
> 'doppelt' so viele Elemente enthält.
Ich weiß, dass man die Unendlichkeit in Beweisen so ausnutzen kann. Aber das geht bei deinem Beispiel wegen dem uneingeschränkten Intervall von [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ.
[/mm]
In diesem Fall hat man eine andere Voraussetzung. Für jedes Tupel (x,f(x)) findet sich eindeutig ein (x,g(x)). Hier wird das bei einem Intervall sogar auf eine gleiche unendliche Menge von Punkten eingegrenzt.
Die einzige logische Erklärung für dieses Phänomen ist für mich folgende:
Die Punkte sind nochmal miteinander verbunden. Genau diese Punktstrecken sind bei f(x) kürzer als bei g(x). Die Lage der Punkte ist durch (x,f(x)) bzw. (x,g(x)) eindeutig gegeben.
Diese Behauptung kann man sogar untermauern. Nämlich mit der Eigenschaft der Ableitungsfunktion!!! Sie definiert ja Richtungsvektoren für beliebige Punkte (x,f(x)), in dessen Richtung dann der jeweils nächste Punkt des Graphen anschließt. Richtungsvektoren geben streng genommen aber x- und y-Sprünge an. Egal wie klein man sie wählt. Sie bleiben proportional. Der x-Sprung ist Punkt x zum Punkt nachx. Der y-Sprung ist aber abhängig von der Funktionsvorschrift. Bei f(x) ist der Punktsprung mit 1 x weit und 1 x hoch gegeben, bei g(x) mit 1x weit und 2x hoch.
Gibt es in der Behauptung logische Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > Hallo msg08,
> >
> > Du verwendest hier 2 verschiedene Arten von [mm]|\cdot |[/mm]:
> >
> > Einmal meinst du damit die Kardinalität einer Menge; Diese
> > bleibt unter einer Bijektivität gleich, wie du selbst
> > gesagt hast.
> > Das andere Mal meinst du die Länge einer Kurve; Diese kann
> > sich aber unter Abbildungen beliebig verändern, wie dein
> > gerechnetes Beispiel zeigt.
>
> Ist nicht jedes Kurvenstück die Summe seiner Teile. Diese
> Teile sind als Punkte eindeutig definiert.
>
Und da es immer unendlich viele Punkte sind, egal wie lang die Kurve ist, besteht also jede Kurve aus gleich vielen Punkten - obwohl sie alle unterschiedlich lang sind.
Du hast unendlich viele Punkte und jeder Punkt hat Länge 0, also hat die Kurve Länge [mm] \infty*0, [/mm] und da kann eben alles mögliche rauskommen.
> > > Wieso kann so etwas passieren. Wobei per Definition beide
> > > Graphenstücke dieselbe Menge an Punkten haben. Was passiert
> > > da?
> >
> > Die Anzahl Elemente einer unendlichen Menge verhält sich
> > unter Operationen wie Hinzufügen von endlich vielen Punkten
> > oder 'verdoppeln' der Elemente nicht wie man sich das von
> > endlichen Mengen gewöhnt ist. So kann man problemlos
> > bijektive Abbildungen [mm]\IZ \to \IN[/mm] finden, obwohl [mm]\IZ[/mm]
> > 'doppelt' so viele Elemente enthält.
>
> Ich weiß, dass man die Unendlichkeit in Beweisen so
> ausnutzen kann. Aber das geht bei deinem Beispiel wegen dem
> uneingeschränkten Intervall von [mm]\IN[/mm] und [mm]\IZ.[/mm]
>
> In diesem Fall hat man eine andere Voraussetzung. Für jedes
> Tupel (x,f(x)) findet sich eindeutig ein (x,g(x)). Hier
> wird das bei einem Intervall sogar auf eine gleiche
> unendliche Menge von Punkten eingegrenzt.
>
> Die einzige logische Erklärung für dieses Phänomen ist für
> mich folgende:
>
> Die Punkte sind nochmal miteinander verbunden. Genau diese
> Punktstrecken sind bei f(x) kürzer als bei g(x). Die Lage
> der Punkte ist durch (x,f(x)) bzw. (x,g(x)) eindeutig
> gegeben.
Womit sind sie verbunden? Und in beiden Fällen wär die Länge eh Null.
>
> Diese Behauptung kann man sogar untermauern. Nämlich mit
> der Eigenschaft der Ableitungsfunktion!!! Sie definiert ja
> Richtungsvektoren für beliebige Punkte (x,f(x)), in dessen
> Richtung dann der jeweils nächste Punkt des Graphen
> anschließt.
Es gibt keinen nächsten Punkt, da die Punkte dicht liegen.
> Richtungsvektoren geben streng genommen aber x-
> und y-Sprünge an. Egal wie klein man sie wählt. Sie bleiben
> proportional. Der x-Sprung ist Punkt x zum Punkt nachx. Der
> y-Sprung ist aber abhängig von der Funktionsvorschrift. Bei
> f(x) ist der Punktsprung mit 1 x weit und 1 x hoch gegeben,
> bei g(x) mit 1x weit und 2x hoch.
Und dadurch entsteht die Verlängerung der Kurve. Und weil die Punkte dicht liegen, kannst du für jeden Punkt auf einen 'Gegenpunkt' finden, so dass es wieder eine geschlossene Kurve ergibt, also ohne 'Löcher'.
>
> Gibt es in der Behauptung logische Denkfehler?
>
Du argumentierst total lasch, einfach aus der 'Anschauung' heraus... das funktioniert aber bei so einer 'elementaren' Frage in der Mathematik nicht, da versagt oft die Anschauung. Deswegen musst du erst alles auf ein gutes Fundament stellen und dann alles logisch daraus ableiten, ohne jegliche Anschauung zu verwenden.
Frag' mich jetzt aber nicht, wie das ganze richtig wär.. ich weiss es auch nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 13.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Stimmt, ein Punkt hat die Länge 0. Also mit Punktlänge = 0. Damit wäre die Strecke eines Graphenstückes nicht mehr die Menge seiner Punkte, sondern die Summe der Punktstrecken zueinander.
Logisch oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Stimmt, ein Punkt hat die Länge 0. Also mit Punktlänge = 0.
> Damit wäre die Strecke eines Graphenstückes nicht mehr die
> Menge seiner Punkte, sondern die Summe der Punktstrecken
> zueinander.
>
> Logisch oder?
Was meinst du mit 'zueinander'?
Eine Kurve ist eine Menge von Punkten. Die Länge einer Kurve hat aber mit den Punkten, aus denen die Kurve 'gemacht' ist, nicht mehr viel zu tun, denn du hättest ja dann immer unendlich viele Punkte mit Länge Null, also [mm] \infty*0.
[/mm]
Es ging ursprünglich darum, dass mit f(x)=x und g(x)=2x ein Intervall auf unterschiedliche Längen 'gezogen' werden kann. Das kannst du dir am besten so vorstellen, dass weil die Punkte im Intervall alle dicht liegen, kannst du sie auseinanderziehen, ohne dass 'Lücken' entstehen, denn die Punkte liegen danach immer noch dicht - es 'sieht' also immer noch wie eine schöne, glatte Kurve aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Di 13.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Bitte diesen Artikel als beantwortet markieren.
Ich bin sicher, dass ich logisch korrekt argumentiert habe.
Wie sollte man sich denn auch anders bei gleichvielen Punkten verschieden lange Strecken erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ein letzter Anlauf.
>
> Also echt nur konkret Fehler in meiner Argumentation
> benennen. Nicht einfach als falsch abtun und gut ist
> gewesen.
>
> Bitte!!!
Dann aber nicht von mir, denn ich bin ja (wie du wohl schon mitgekriegt hast) mit der ganzen Argumentation an sich, bzw. schon mit deinem Ansatz zur Argumentation nicht einverstanden, bzw. hat das für mich keinen Zusammenhang irgendwie.
Vielleicht gibt ja noch jemand anders seinen Senf dazu ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Di 13.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Also ich verwerfe den Stetigkeitsbegriff nicht. Ich verdeutliche nur, wie sich eine Teilstrecke eines stetigen Funktionsgraphen bildet. Wie genau man jetzt mit Stetigkeit selber umgehen muss, weiss ich nicht. Ich habe aber mathematisch logisch gefolgert, wie verschieden lange Graphenstrecken für gleichgroße Definitionsbereiche entstehen. Nämlich über Ableitung, Linearität und dem Satz des Pythagoras.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Also ich verwerfe den Stetigkeitsbegriff nicht. Ich
> verdeutliche nur, wie sich eine Teilstrecke eines stetigen
> Funktionsgraphen bildet. Wie genau man jetzt mit Stetigkeit
> selber umgehen muss, weiss ich nicht. Ich habe aber
> mathematisch logisch gefolgert, wie verschieden lange
> Graphenstrecken für gleichgroße Definitionsbereiche
> entstehen. Nämlich über Ableitung, Linearität und dem Satz
> des Pythagoras.
>
>
Welcher Stetigkeitsbegriff?
Richtig.... du -verdeutlichst- es dir... das ist aber kein mathematischer Beweis.
Ich habe auch logisch gefolgert bei meiner Argumentation... also anscheinend hat ja einer von uns hier -nicht- logisch gefolgert, ne. Aber das zu entscheiden liegt nicht bei uns.
Nur weil du ein paar Sätze/Begriffe der Mathematik benutzt hast, heisst das noch lange nicht, dass die Argumentation richtig ist.
Ausserdem versagt deine Argumentation, wenn man kompliziertere Kurven als x und 2x betrachtet.
Kennst du die Peano-Kurve? Das ist eine stetige, surjektive Funktion von [0,1] nach [mm] [0,1]^2. [/mm] Also eine Kurve, die das Einheitsintervall auf das Einheitsquadrat abbildet und das auch noch stetig!
Und hier hapert deine Argumentation, denn eine Kurve hat ja 'dicke' Null - wie soll sie da jemals eine Fläche ausfüllen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Mi 14.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Hast Recht!!!
Es gilt nur für stetig differenzierbare Funktionen.
Sonst wird es schwierig mit der Ableitung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo msg08,
soll ich den Status deines Threads auf beantwortet stehen lassen? Ich könnte z.B. die Ausgangsfrage auf halb-beantwortet setzen, dann kommen sicherlich noch mehr Statements.
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Bitte diesen Artikel als beantwortet markieren.
>
> halb erledigt 
>
> > Ich bin sicher, dass ich logisch korrekt argumentiert habe.
>
> [mm]\blue{strecken}weise[/mm] schon....
>
> > Wie sollte man sich denn auch anders bei gleichvielen
> > Punkten verschieden lange Strecken erklären.
>
> ... aber hier liegt, denke ich ein kleiner Fehler vor -
> handelt es sich wirklich um [mm]\text{\red{gleich\ viele}}[/mm]
> Punkte? Wir befinden und immerhin in [mm]\IR[/mm] - oder täusche ich
> mich ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
nein, Du täuschst Dich nicht. Es wird hier eine Menge, die gleichmächtig zu [mm] $\IR$ [/mm] ist, behandelt. Und aus diesem Grund macht es auch nur in diesem Sinne Sinn, von der "gleichen Anzahl von Punkten" zu sprechen:
Man kann eine Abbildung so angeben, dass jeder Punkt der einen Menge genau ein Gegenstück in der anderen Menge hat und dass damit die *andere Menge* voll ausgeschöpft wird.
Bei endlichen Mengen können wir das uns immer so schön vorstellen:
$n$ Pläte für $n$ Gäste: Passende Bijektion ist auffindbar
Aber wenn ich mir vorstellte, nun [mm] "$\IN$ [/mm] Gäste" auf [mm] "$\IQ$ [/mm] Plätze" zu verteilen (ich hoffe, man versteht, was ich damit meine, es ist ja sehr salopp ausgedrückt), würde es mich eigentlich schon "anschaulich" verwundern, dass das klappt...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Mi 14.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Dein Argument ist also die Dichte, doch wieso wird sie hier verändert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dein Argument ist also die Dichte, doch wieso wird sie hier
> verändert?
ich glaube nicht, dass ich geschrieben habe, dass man vermittels der Dichte damit argumentieren kann. Geht vielleicht, vielleicht geht's auch nicht:
Das eigentliche Argument ist viel einfacher:
Du kannst jedes nichtleere kompakte Intervall $[a,b]$ auf ein anderes nichtleeres kompaktes Intervall $[c,d]$ bijektiv abbilden (es darf nur nicht so sein, dass das eine einpunktig ist und das andere nicht). Das geht mit einer einfachen affin linearen Abbildung ("Geradengleichung" $f(x)=mx+n$ mit $f(a)=c$ und $f(b)=d$, woraus Du locker $m,n$ berechnen kannst).
Was ich nur geschrieben habe:
Verwundert es Dich nicht, dass man aus den natürlichen Zahlen quasi eine Menge basteln kann, die dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt? Das finde ich eigentlich "anschaulich" und konstruktiv eigentlich eher verwunderlich. Das andere erklärt sich mir anschaulich mit einer Taschenlampe bzw. mit dem Strahlensatz, wenigstens macht es mir das plausibel
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:58 Mi 14.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Nein, die Unendlichkeit in der Mathematik ist für mich einfach nur ein Cheat. Da denk ich auch gar nicht weiter logisch nach. Es geht weiter und punkt.
Vielleicht ist dein Argument ein sehr tolles, hinter welches ich aber nicht steige und damit nicht drauf reagieren kann.
Um es aber zu einem Punkt zu bringen, bleibt das jetzt eine Mitteilung. Ja, viele Phänomene lassen sich nicht erklären, man sieht sie einfach nur. Aber das kann ich mit mir nicht einfach so ausmachen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:11 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nein, die Unendlichkeit in der Mathematik ist für mich
> einfach nur ein Cheat. Da denk ich auch gar nicht weiter
> logisch nach. Es geht weiter und punkt.
>
> Vielleicht ist dein Argument ein sehr tolles, hinter
> welches ich aber nicht steige und damit nicht drauf
> reagieren kann.
welches meinst Du? Also dass die Abbildung $f: [a,b] [mm] \to [/mm] [c,d]$ mit [mm] $f(x)=\frac{d-c}{b-a}*x+\left(c-\frac{d-c}{b-a}*a\right)$ [/mm] bijektiv ist, ist nun wirklich alles andere als schwer nachzurechnen.
(Insbesondere gilt offensichtlich $f(a)=c$ und [mm] $f(b)=\frac{d-c}{b-a}*b+\left(c-\frac{d-c}{b-a}*a\right)=\frac{c*(b-a)+b(d-c)-a(d-c)}{b-a}=\frac{bd-ad}{b-a}=d$.)
[/mm]
> Um es aber zu einem Punkt zu bringen, bleibt das jetzt eine
> Mitteilung. Ja, viele Phänomene lassen sich nicht erklären,
> man sieht sie einfach nur. Aber das kann ich mit mir nicht
> einfach so ausmachen.
Doch, die Erklärung steht oben:
Man findet locker eine Bijektion. Was Du vll. meinst, ist, dass Dir keine anschauliche Erklärung einfällt, aber außer dem Strahlensatz fällt mir da halt auch nichts ein, und der macht in einem gewissen Sinne nur die Bijektionen *anschaulich* plausibel...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:19 Mi 14.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Schönes Beispiel.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:26 Mi 14.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Danke, das hilft mir einen Schritt weiter bei meiner Behauptung.
Die Bijektivität spielt gar keine Rolle bei der Argumentation. Einzig wichtig ist die Definition von Abbildungen mit f : [mm] \IR \mapsto [/mm] Wertebereich und f ist stetig differenzierbar. Dann kann man jedem x [mm] \in \IR [/mm] mit f(x) [mm] \in [/mm] Wertebereich einen Wert zuordnen. Die Steigung in jedem Punkt (x,f(x)) bekommt man über die Ableitung f' mit f'(x) raus. Streng genommen, hat der durch die Ableitung gegebene Richtungsvektor einen [mm] \Delta [/mm] x - Fehler. Bei den Geradengleichungen taucht dieser aber nicht auf. Also beziehe ich mich vllt. doch besser erstmal nur auf die Geradengleichungen.
Logische Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke, das hilft mir einen Schritt weiter bei meiner
> Behauptung.
>
> Die Bijektivität spielt gar keine Rolle bei der
> Argumentation.
das unterstellst Du einfach so. In Wahrheit gilt per Definitionem, dass man anhand der Existenz einer Bijektion *mißt*, ob zwei Mengen gleichmächtig sind oder nicht.
> Einzig wichtig ist die Definition von
> Abbildungen mit f : [mm]\IR \mapsto[/mm] Wertebereich
Meine obige Funktion ist gar nicht auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert, sondern auf $[a,b] [mm] \subset \IR$.
[/mm]
> und f ist
> stetig differenzierbar. Dann kann man jedem x [mm]\in \IR[/mm] mit
> f(x) [mm]\in[/mm] Wertebereich einen Wert zuordnen.
Ja, klar, der Wertebereich ist ja per Definitionem [mm] $\{y: \exists x \in D_f: f(x)=y\}$.
[/mm]
> Die Steigung in
> jedem Punkt (x,f(x)) bekommt man über die Ableitung f' mit
> f'(x) raus. Streng genommen, hat der durch die Ableitung
> gegebene Richtungsvektor einen [mm]\Delta[/mm] x - Fehler. Bei den
> Geradengleichungen taucht dieser aber nicht auf. Also
> beziehe ich mich vllt. doch besser erstmal nur auf die
> Geradengleichungen.
>
> Logische Fehler?
Ich weiß immer noch nicht, was Du hier mit Richtungsvektoren und Steigungen etc. überhaupt willst. Oder auch mit Ableitungen usw.
Wenn ich nun die Mengen $[0,1]$ und $[0,1] [mm] \setminus \IQ$ [/mm] betrachte, so sind die auch gleichmächtig. Und da stellt sich mir automatisch die Frage, wenn ich eine Bijektion $([0,1] [mm] \setminus \IQ) \to [/mm] [0,1]$ gefunden habe, ob diese dann überhaupt differenzierbar sein muss. Bzw. man könnte sich direkt auch fragen, ob es dann denn eine differenzierbare Bijektion gibt...
Also meiner Ansicht nach *versteifst* Du Dich hier etwas zu sehr darauf, eine "anschauliche" Erklärung zu finden...
(Das ist ja nicht schlimm, sondern gut, dass Du Dich damit so auseinandersetzt, aber ich bezweifle einfach ein wenig, dass Du so viel weiterkommst. Natürlich lasse ich mich auch gerne von dem Gegenteil überzeigen.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Mi 14.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Ach, ich habe lieber eine für mich schlüssige Erklärung als keine. Danke für eure rege Beteiligung an diesem Thema!!!
MfG
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Mi 14.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Also: [mm] \wurzel{2}\not=\wurzel{5} [/mm] für den Definitionsbereich [0,1] [mm] \in \IR
[/mm]
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vergleich von 2 bijektiven Abbildungen g und h mit f, g: IR
> -> IR
>
> Definitionen:
>
> (a) f(x) = x
> (b) g(x) = 2x
>
> Für die Strecken der abgebildeten Funktionsgraphen gilt ja
> [mm]\wurzel{x^{2}+f(x)^{2}}[/mm] bzw. [mm]\wurzel{x^{2}+g(x)^{2}}[/mm]
>
> Bei einer Bijektion gilt ja immer |Definitionsbereich| =
> |Wertebereich|
>
> Nur wie ist es jetzt mit den Punkten innerhalb analog
> abgebildeter Strecken?
> Nähme man z.B. das Intervall [0,1] für x, so ergibt sich
> für die Strecken:
>
> (1) [mm]\wurzel{1^{2}+f(1)^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2}+1^{2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{1}[/mm]
Bei mir ist [mm] $1^2+1^2=2$ [/mm] und damit [mm] $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. [/mm] Wollte ich nur mal anmerken
> (2) [mm]\wurzel{1^{2}+g(1)^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{1^{2}+2^{2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> Aber: [mm]\wurzel{1}\not=\wurzel{5}[/mm]
>
> Obwohl die Anzahl der Punkte jeweils |[0,1]| ist!!!
>
> Wieso kann so etwas passieren. Wobei per Definition beide
> Graphenstücke dieselbe Menge an Punkten haben. Was passiert
> da?
Was stört Dich daran? Geometrisch erinnert mich das an den Strahlensatz:
Nimm Dir ein Lineal, leg' es fest an einen Punkt und nimm Dir eine Taschenlampe. Leuchte es so von vorne mit einer Taschenlampe an, so dass der Schatten auf die Wand fällt. Gehst Du weiter weg, wird der Schatten kleiner, gehst Du näher dran, so wird er größer. Das mag' Dich verwundern, dass es dann stets eine Bijektion zwischen dem Schatten und dem Lineal gibt, aber mathematisch gesehen ist es eine Leichtes, so etwas nachzurechnen (Du kannst ja durchaus auch eine Bijektion $(0,1) [mm] \to \IR$ [/mm] angeben).
Das ganze "anschaulisch" anders zu behandeln, wird schwer. Das ist schon alleine deshalb problematisch, weil [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt und es eine Bijektion [mm] $\IN \to \IQ$ [/mm] gibt, aber [mm] $\IN$ [/mm] sicherlich nicht dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt. Eigentlich müsste das schon verwundern, dass man aus einer abzählbar unendlichen Menge, die nicht dicht in [mm] $\IR$ [/mm] ist, so etwas "dichtes" basteln kann.
Also so ganz verstehe ich Dein Problem hier auch nicht, ehrlich gesagt. Wenn man mit unendlichen Mengen arbeitet, kommt man vll. zu überraschenden Ergebnissen, nichtsdestotrotz läßt sich deren Richtigkeit oder Falschheit meist dennoch schnell einsehen.
Die Geometrie (hier: Strahlensatz) würde ich hier vll. benutzen, um das ganze plausibel zu machen, dass das ganze in der Tat auch (logisch) korrekt ist, läßt sich (durch einfaches aufschreiben) beweisen. Allerdings mit der Angabe einer Bijektion, nicht mit Argumenten, dass da irgendwelche Punkte "zusammenhängen" (das ist sowieso ein Begriff, denn Du so "dahinklatschst"; wie wolltest Du den genauer definieren? Es gibt durchaus auch den Begriff von zusammenhängenden topologischen Räumen, aber die stehen in einem anderen (Achtung: Wortspiel) Zusammenhang... )
Gruß,
Marcel
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