Punktweise Konvergenz < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi, mich quält mal wieder eine Frage:
" Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] f_n [/mm] :[0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] gegeben durch [mm] f_n(x) [/mm] := [mm] x^n
[/mm]
a) Konvergiert [mm] (f_n) [/mm] punktweise?
b) Konvergiert [mm] (f_n) [/mm] gleichmäßig?
mfg |
zu a)
Ich habe mir die Funktion angesehen und komme zum Schluss, dass es für 0 [mm] \le [/mm] x < 1 doch gegen 0 Konvergiert. einzig für den Fall x= 1 würde es eins sein.
Sprich:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x=1 \end{cases}
[/mm]
Also ist es doch Punktweise konvergent.
b)
Wie zeige ich dies nun mit der Gleichmäßgen Konvergenz:
Im ersten Schritt habe ich ja gezeigt, dass sie schon mal punktweise konvergiert
[mm] \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm]
wenn ich nun einsetze müsste ich doch eine Fallunterscheidung machen für x=1 und für 0 [mm] \le [/mm] x<1 oder?
1.Fall 0 [mm] \le [/mm] x<1
[mm] \left|f_n(x)-0\right| [/mm] = [mm] \left|x^n-0\right| [/mm] = [mm] x^n
[/mm]
ok mal angenommen ich wähle [mm] \epsilon [/mm] als 0,2 (was ja erlaubt sein sollte da größer 0)
Weiters nehme ich x= 1/n
wenn ich dies nun zufällig für mein n=2 ausprobiere erhalte ich
[mm] x^n [/mm] = [mm] (1/n)^n [/mm] = [mm] (1/2)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] Dies ist aber größer als 0,2 und daher nicht gleichmäßig konvergent.
2.Fall x=1
[mm] \left|f_n(x)-1\right| [/mm] = [mm] \left|1^n-1\right| [/mm] = 0
Somit gleichmäßig konvergent
Habe ich das richtig verstanden?
mfg
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Hallo Steffen2361,
> Hi, mich quält mal wieder eine Frage:
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> " Für n [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]f_n[/mm] :[0,1] [mm]\rightarrow \IR[/mm] gegeben
> durch [mm]f_n(x)[/mm] := [mm]x^n[/mm]
>
> a) Konvergiert [mm](f_n)[/mm] punktweise?
> b) Konvergiert [mm](f_n)[/mm] gleichmäßig?
>
> mfg
> zu a)
>
> Ich habe mir die Funktion angesehen und komme zum Schluss,
> dass es für 0 [mm]\le[/mm] x < 1 doch gegen 0 Konvergiert. einzig
> für den Fall x= 1 würde es eins sein. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Sprich:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\
1, & x=1 \end{cases}[/mm]
>
> Also ist es doch Punktweise konvergent.
>
> b)
>
> Wie zeige ich dies nun mit der Gleichmäßgen Konvergenz:
>
> Im ersten Schritt habe ich ja gezeigt, dass sie schon mal
> punktweise konvergiert
>
> [mm]\left|f_n(x)-f(x)\right|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> wenn ich nun einsetze müsste ich doch eine
> Fallunterscheidung machen für x=1 und für 0 [mm]\le[/mm] x<1
> oder?
>
> 1.Fall 0 [mm]\le[/mm] x<1
>
> [mm]\left|f_n(x)-0\right|[/mm] = [mm]\left|x^n-0\right|[/mm] = [mm]x^n[/mm]
>
> ok mal angenommen ich wähle [mm]\epsilon[/mm] als 0,2 (was ja
> erlaubt sein sollte da größer 0)
> Weiters nehme ich x= 1/n
>
> wenn ich dies nun zufällig für mein n=2 ausprobiere
> erhalte ich
>
> [mm]x^n[/mm] = [mm](1/n)^n[/mm] = [mm](1/2)^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}.[/mm] Dies ist aber
> größer als 0,2 und daher nicht gleichmäßig konvergent.
>
> 2.Fall x=1
>
> [mm]\left|f_n(x)-1\right|[/mm] = [mm]\left|1^n-1\right|[/mm] = 0
>
> Somit gleichmäßig konvergent
Wie das?
Wenn [mm]f_n[/mm] glm. konvergieren würde, müsste die Grenzfubnktion [mm]f[/mm] stetig sein.
Ist sie das?
>
> Habe ich das richtig verstanden?
>
> mfg
>
Gruß
schachuzipus
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> Wie das?
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> Wenn [mm]f_n[/mm] glm. konvergieren würde, müsste die
> Grenzfubnktion [mm]f[/mm] stetig sein.
>
> Ist sie das?
>
Nein ist Sie nicht, da sie an jeder Stelle im Intervall [mm] x\in [/mm] [0,1) = 0 ist und sobald x =1 springt sie auf die 1. Wenn ich mir diese Funktion aufzeichne wäre Sie nicht stetig
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Hiho,
> Nein ist Sie nicht, da sie an jeder Stelle im Intervall
> [mm]x\in[/mm] [0,1) = 0 ist und sobald x =1 springt sie auf die 1.
> Wenn ich mir diese Funktion aufzeichne wäre Sie nicht stetig
Na nicht nur, wenn du sie dir aufzeichnest. Sie ist es generell nicht.
Und was weißt du über den gleichmäßigen Grenzwert stetiger Funktionen?
Kann die Konvergenz also gleichmäßig sein?
Und wenn du dir das klar gemacht hast, können wir darüber sprechen, wo den Fehler im Beweis ist 
MFG,
Gono.
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> Na nicht nur, wenn du sie dir aufzeichnest. Sie ist es
> generell nicht.
> Und was weißt du über den gleichmäßigen Grenzwert
> stetiger Funktionen?
> Kann die Konvergenz also gleichmäßig sein?
>
Naja wenn ich mich richtig erinnere kann f nur stetig sein wenn [mm] f_n [/mm] gleichmäßig konvergiert oder?
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Hiho,
> Naja wenn ich mich richtig erinnere kann f nur stetig sein
> wenn [mm]f_n[/mm] gleichmäßig konvergiert oder?
kann? muss? wahrscheinlich?
Aufpassen, was woraus folgt:
Der gleichmäßige Grenzwert einer unstetigen Folge kann sehr wohl auch unstetig sein!
Wenn du dir unsicher bist, schlag den Satz in deinen Unterlagen nochmal nach: Unter welchen Bedingungen ist der gleichmäßige Grenzwert stetig?Ist er das dann auch zwingend?
MFG;
Gono.
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Unter welchen Bedingungen ist der
> gleichmäßige Grenzwert stetig?Ist er das dann auch
> zwingend?
ok, hoffe du meintest diese Bedingungen
1) Die Funktionenfolge muss Punktweise konvergieren
2) Nur wenn die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen die Funktion f konvergiert ist diese auch stetig
mehr Bedingungen finde ich nicht
>
> MFG;
> Gono.
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Hiho,
> ok, hoffe du meintest diese Bedingungen
>
> 1) Die Funktionenfolge muss Punktweise konvergieren
>
> 2) Nur wenn die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] gleichmäßig gegen die
> Funktion f konvergiert ist diese auch stetig
>
> mehr Bedingungen finde ich nicht
das stimmt doch so ohne Zusatzbedingungen gar nicht!
Nimm beispielsweise die konstante Funktionenfolge
[mm] $f_n(x) [/mm] = sgn(x)$
Die Konvergiert gleichmäßig gegen sgn(x) und die Grenzfunktion ist nicht stetig.
Wichtig ist also die Stetigkeit der Folgenglieder, damit der Satz gilt.
Insbesondere folgt 1.) ja aus 2.) und ist damit nicht notwendig.
Weiterhin ist das "nur" bei 2.) auch falsch. Es gibt durchaus stetige Funktionenfolgen, wo die Grenzfunktion stetig ist, die Konvergenz aber trotzdem nicht gleichmäßig.
D.h. korrekt wäre der Satz gewesen:
"Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion, so ist diese ebenfalls stetig."
Was davon ist hier bei dieser Aufgabe gegeben? Was kann folglich nicht gelten?
MFG;
Gono.
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> das stimmt doch so ohne Zusatzbedingungen gar nicht!
> Nimm beispielsweise die konstante Funktionenfolge
>
> [mm]f_n(x) = sgn(x)[/mm]
>
> Die Konvergiert gleichmäßig gegen sgn(x) und die
> Grenzfunktion ist nicht stetig.
> Wichtig ist also die Stetigkeit der Folgenglieder, damit
> der Satz gilt.
> Insbesondere folgt 1.) ja aus 2.) und ist damit nicht
> notwendig.
> Weiterhin ist das "nur" bei 2.) auch falsch. Es gibt
> durchaus stetige Funktionenfolgen, wo die Grenzfunktion
> stetig ist, die Konvergenz aber trotzdem nicht
> gleichmäßig.
> D.h. korrekt wäre der Satz gewesen:
>
ok, danke
> "Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig
> gegen eine Grenzfunktion, so ist diese ebenfalls stetig."
>
> Was davon ist hier bei dieser Aufgabe gegeben? Was kann
> folglich nicht gelten?
ok prinzipiel sind alle meine Funktionen stetig
Sprich:
f(x) [mm] =x^n [/mm] stetig
Zusätzlich weis ich, dass die Grenzfunktion aber nicht stetig ist. Damit gilt doch, dass die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert oder?
>
> MFG;
> Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Do 06.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber warum fragst du? schreib einen überzeugenden Satz, - der auch dich überzeugt- warum das richtig ist!
Gruss leduart
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