Punktweise und glm. Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Prüfe die punktweise und glm. Konvergenz von [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] n\cdot sin(\frac{n}{x})$ [/mm] und [mm] $g_n(x) [/mm] = [mm] sin(\pi*x^n)$. [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Vorstellung, worauf ich bei dieser Aufgabe hinauswill, habe aber z. B. bei [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] n\sin(\frac{x}{n})$ [/mm] keinen Weg gefunden, auf [mm] $|f_n(x)-x|<\epsilon$ [/mm] zu kommen. Kann ich den Sinus irgendwie auseinander ziehen? Das Ganze geht doch imho gegen punktw. und glm. x, nicht wahr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 So 18.01.2009 | | Autor: | statler |
> Prüfe die punktweise und glm. Konvergenz von [mm]f_n(x) = n\cdot sin(\frac{n}{x})[/mm]
> und [mm]g_n(x) = sin(\pi*x^n)[/mm].
Hi!
> ich habe eine Vorstellung, worauf ich bei dieser Aufgabe
> hinauswill, habe aber z. B. bei [mm]f_n(x) = n\sin(\frac{x}{n})[/mm]
> keinen Weg gefunden, auf [mm]|f_n(x)-x|<\epsilon[/mm] zu kommen.
Die Aufg. kommt mir bekannt vor, daher vermute ich mal, daß x [mm] \in [/mm] [0, 1] sein soll. Du kannst dir dann z. B. überlegen, wo x - [mm] f_n(x) [/mm] sein Maximum annimmt. Wenn du das gefunden hast und bewiesen(!) hast, mußt du nur noch nachweisen, daß der Grenzwert dieses Maximums = 0 ist. Da hilft dir die Regel von l'Hopital.
In diesem Fall ist die Konvergenz wirklich gleichmäßig.
Bei den [mm] $g_n\ [/mm] 's$ müßtest du dir überlegen, wie das bei x = 0 und bei x = 1 aussieht und was dazwischen so passiert. Zeichne die Dinger mal grob für n = 1, 2 und 10, dazu kannst du ruhig einen TR nehmen. Dann erkennst du hoffentlich, was die Grenzfunktion ist und warum die Konvergenz hier nicht gleichmäßig ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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