Punktweise vs. glm. Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Di 03.03.2009 | | Autor: | Hanz |
Hallo,
könnte mir evtl. jemand den genauen Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Stetigkeit verdeutlichen? Habe bei Wikipedia auch schon nachgelesen, aber es irgendwie noch nicht ganz gerafft.
Bei der Punktweisen Stetigkeit hängt mein [mm] \delta [/mm] doch vom [mm] \varepsilon [/mm] UND [mm] x_0 [/mm] ab, was ich wählen muss.
Ich wähle mir also einen Punkt [mm] x_0 [/mm] und betrachte um diesen Punkt meine sogenannte [mm] \delta [/mm] - Umgebung. Egal wie klein ich diese wähle, existiert immer eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] dazu.
Bei gleichmäßiger Stetigkeit hängt das [mm] \delta [/mm] doch nur vom [mm] \varepsilon [/mm] ab.
Wie genau habe ich diese Definition aber zu verstehen?
Wo liegt der Unterschied in einem [mm] \varepsilon-\delta-Beweis [/mm] bei den beiden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Satz:"Egal wie klein ich diese wähle, existiert immer eine $ [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] $ dazu."
ist falsch. richtig ist, zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es eine [mm] \delta [/mm] Umgebung so dass....
im allgemeinen haengt die 'passende [mm] \delta [/mm] Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ab.
bei einer auf einem endlichen Gebiet stet. fkt, kann man dann immer das minimum ale [mm] \delta [/mm] in dem Gebiet nehmen. deshalb sind die fkt auf abgeschl intervallen, wenn sie punktweise stetig sind auch glm. stetig.
aber wenn du dir etwa nur [mm] x^2 [/mm] ansiehst haengt die [mm] \delta [/mm] Umgebung schon sehr von [mm] x_0 [/mm] ab. d.h. fuer x gegen [mm] \infty [/mm] wird [mm] \delta [/mm] immer kleiner, du kannst kein [mm] \delta [/mm] angeben, das fuer ale x gilt. aber fuer das Intervall [mm] x\in [/mm] [-100,1000]
kanst du schon ein einziges [mm] \delta [/mm] angeben.
Gruss leduart
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