Pyramide < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 11.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sind vier Punkte, die die Ecken einer dreiseitigen Pyramide, mit
dreieckiger Grundfläche beschreiben. A(2/0/0) , B(2/6/0), C(0/2/0), D(1/2/4).
Bestimmen Sie den Abstand zwischen D und der Grundfläche.
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Moin,
komme mit dieser Aufgabe nicht weiter, da der Normalenvektor nicht befriedigend für eine Weiterrechnung der Aufgabe ist. Mache ich irgendetwas falsch???
1) Ich habe zunächst die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] bestimmt:
[mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{2\\6\\0} [/mm] - [mm] \vektor{2\\0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\6\\0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = [mm] \vektor{0\\2\\0} [/mm] - [mm] \vektor{2\\0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{-2\\2\\0}
[/mm]
[Nebenbei ergibt sich daraus E: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\0\\0} [/mm] + [mm] r\vektor{0\\6\\0} [/mm] + [mm] s\vektor{-2\\2\\0} [/mm] ]
Daraus ergeben sich wegen [mm] \overrightarrow{n} [/mm] * [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = 0
und [mm] \overrightarrow{n} [/mm] * [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] = 0
die Gleichungen
6y = 0
-2x + 2y = 0
Das führt aber auf [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
???
gruss
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Di 11.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo hase-hh.
> Gegeben sind vier Punkte, die die Ecken einer dreiseitigen
> Pyramide, mit
> dreieckiger Grundfläche beschreiben. A(2/0/0) , B(2/6/0),
> C(0/2/0), D(1/2/4).
>
> Bestimmen Sie den Abstand zwischen D und der Grundfläche.
>
>
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> Moin,
>
> komme mit dieser Aufgabe nicht weiter, da der
> Normalenvektor nicht befriedigend für eine Weiterrechnung
> der Aufgabe ist. Mache ich irgendetwas falsch???
>
> 1) Ich habe zunächst die Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] bestimmt:
>
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{2\\6\\0}[/mm] - [mm]\vektor{2\\0\\0}[/mm]
> = [mm]\vektor{0\\6\\0}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = [mm]\vektor{0\\2\\0}[/mm] - [mm]\vektor{2\\0\\0}[/mm]
> = [mm]\vektor{-2\\2\\0}[/mm]
>
> [Nebenbei ergibt sich daraus E: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\0\\0}[/mm] + [mm]r\vektor{0\\6\\0}[/mm] + [mm]s\vektor{-2\\2\\0}[/mm]
> ]
> Daraus ergeben sich wegen [mm]\overrightarrow{n}[/mm] *
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = 0
> und [mm]\overrightarrow{n}[/mm] * [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] = 0
>
> die Gleichungen
>
> 6y = 0
>
> -2x + 2y = 0
>
> Das führt aber auf [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> ???
Eigentlich heißen die Gleichungen ja:
$0x+6y+0z = 0$
sowie
$-2x + 2y +0z= 0$
Du kannst jetzt hier nicht einfach beigehen und sagen, x,y und z ist null, dann stimmen die Gleichungen zwar, aber du hast eben keinen Normalenvektor.
In der ersten Gleichung
$0x+6y+0z = 0$
musst du y als null definieren, sonst wird die Gleichung nie wahr! Hierbei sind x und z egal
Für die zweite Gleichung gilt schon, dass [mm] \red{y=0} [/mm] ist
$-2x + [mm] 2\red{y} [/mm] +0z= 0$
Um nun die Bedingung noch zu erfüllen, muss auch x=0 gesetzt werden. Weil egal wie groß z ist, du kommst niemals auf etwas größeres als 0...
Nun hast du x und y als 0 definiert, bleibt nur noch z. Und das kannst du wählen, wie du willst. Bloß halt nich null, was das ergibt wenig Sinn. 1 bietet sich an.
Zur Probe bilden wir mal das Kreuzprodukt
[mm] $\vec{n}=\vektor{0\\6\\0} \times\vektor{-2\\2\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\12}$
[/mm]
Es ist ein vielfaches zu dem bestimmten [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] aus den beiden Gleichungen.
Hats geholfen?
> gruss
> wolfgang
>
Gruss
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Di 11.04.2006 | | Autor: | nczempin |
Anschaulich, zum Überprüfen: Die Antwort muss 4 sein, da A, B und C alle 0 in z haben (also alle in der xy-Ebene liegen), D aber 4.
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hallo,
also ich würde den normalenvektor einer ebene immer mit kreuzprodunkt ausrechnen, find ich viel einfacher und es geht auch viel schneller...
gruß lemming
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