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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:56 Mo 10.12.2007 | | Autor: | cellardoor88 |
| Aufgabe | Die Punkte A(6/4/0), B(2/6/0), C(0/0/0) bilden die dreieckige Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(2/3/6). Die Ebene E enthält die Punkte A(6/4/0), Q (4/5/0) und R(0/2/3)
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Die Punkte A(6/4/0), B(2/6/0), C(0/0/0) bilden die dreieckige Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S(2/3/6). Die Ebene E enthält die Punkte A(6/4/0), Q (4/5/0) und R(0/2/3)
1.Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC sowie dessen Flächeninhalt:
habe die winkel jeweils mit der formel:
[mm] \bruch{\overrightarrow{n1}*\overrightarrow{n2}}{|n1|*|n2|} [/mm] berechnet.
[mm] cos\alpha [/mm] : [mm] \bruch{16}{\wurzel{12}\* \wurzel{52}}
[/mm]
= [mm] \bruch{16}{24.979}
[/mm]
= 0,650
[mm] \alpha [/mm] = 50,2°
[mm] cos\beta [/mm] = [mm] \bruch{4}{\wurzel{20}\*\wurzel{40}}
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{28,28}
[/mm]
=0,131
[mm] \beta [/mm] = 81,89°
[mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{36}{\wurzel{52} \*\wurzel{40}}
[/mm]
[mm] =\bruch{36}{45,607}
[/mm]
=0,789
[mm] \gamma [/mm] = 37,9°
meine drei winkel ergeben eine summe von 169,99°
die innenwinkelsumme eines dreiecks soll doch aber 180° betragen. ist alles komplett falsch oder sind das rundungsfehler?!
jetzt zum flächeninhalt:
die allgemeine formel für pyramiden-dreiecke:
[mm] \bruch{1}{3}* \wurzel{\overrightarrow{AB²}+\overrightarrow{AC²}- (\overline{AB}*\overline{AC})}
[/mm]
also:
[mm] \bruch{1}{3}* \wurzel{12+52-256}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}* \wurzel{192}
[/mm]
A= 4,61 FE.
Komischer Flächeninhalt, oder?!?
Selbst wenn er nicht "komisch" ist, dann muss er richtig sein, damit ich das Volumen, was in der nächsten Aufgabe verlangt wird, berechnen kann:
Allgemein:
V = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * G * h
g ist ja mein Flächeninhalt und h brauch ich noch...um h zu berechnen habe ich zunächst die ebene in ABC in eine Normalengleichung umgeformt:
E: [mm] [(\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{a})] [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0
(x/y/z)*(-4/2/0) =0 [mm] \vee [/mm] (x/y/z) * (-6/-4/0) =0
I. -4x + 2y = 0
II. -6x-4y = 0
III. I + II : 2x - 2y = 0
z=0
für x eine freie variable nehmen : x=c in I
[mm] \gdw [/mm] -4c + 2y = 0
-4c = -2y
y= 2c
[mm] \vec{n} [/mm] = (c/2c/0) mit c=1 [mm] \Rightarrow \vec{n} [/mm] = (1/2/0)
also meine Normalengleichung:
E: [mm] [(\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{6/4/0})] [/mm] * [mm] \vec{1/2/0} [/mm] = 0
soooo, um dann endlich auf meine höhe zu kommen, muss ich ne Lotgerade aufstellen:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = (2/3/6) + r * (1/2/0)
dann den schnittpunkt von g und E berechnen:
[ ((2/3/6)+r*(1/2/0)) - (6/4/0)] * (1/2/0) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] [ (-4/-1/6) + r * (1/4/0)] = 0
soo dann hab ich 3 gleichungen aufgestellt, also:
I. -4+1r=0
II. -4=-1r
III. 6=0
bei r hab ich bei I. und II. jeweils :
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus.
aber bei der 3. gleichung ist ja eigentlich ein widerspruch vorhanden ,oder? wenn sich was schneidet, müssen doch r immer gleich sein..?!
könnt ihr mir helfen, meinen fehler /meine FEHLER zu finden?!
hab damit trotzdem noch weiter gerechnet und r in g eingesetzt...
rausgekommen ist [mm] \vec{x} [/mm] = (3/3,5/6)
dann hab ich den abstand zwischen S und X berechnet, also einfach den betrag...
d = [mm] |\overrightarrow{SX}| [/mm] = [mm] \wurzel{(3-1)² + (3,5-2)² + (6-0)²}
[/mm]
[mm] =\wurzel{42,25}
[/mm]
= 6,5 LE.
ist das möglich?
hab dann das volumen berechnet ,indem ich in die komplette formel eingesetzt habe, also:
V= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * 4,61(mein flächeninhalt) * 6,5 (mein abstand)
V= 9.98
bin mir überhaupt nicht sicher...ihr vielleicht?!
dann soll ich die normalengleichung der ebene aufstellen. die punkte der ebene sind oben genannt, das waren A,Q und R.
habe erst die parameterform der ebene aufgestellt;wobei ich mir auch ziemlich sicher bin und dann:
(x/y/z) * (-6/-2/3) = 0
(x/y/z)* (-2/1/0) = 0
dann 2 gleichungen:
I. -6x -2y + 3z = 0
II. -2x + y = 0
III. : I + 2*II
-1x + 3z = 0
z=c
-10x + 3c = 0
x = 0.3c in II.
-> -2*(0.3c) + y= 0
y = 0.6c
[mm] \vec{n}= [/mm] (0.3c / 0,6c / c)
[mm] \vec{n} [/mm] für c = 10 -> (3/6/10)
E: [mm] [\vec{x} [/mm] - (6/4/0)] * (3/6/10) = 0
...ist das richtig?
so, jetzt noch ne sache, und zwar ne spurgerade bestimmen:
Berechnen Sie die Spurgerade gxy der Ebene E und zeigen Sie, dass die Punkte A und B auf dieser Gerade liegen.
als erstes hab ich die normalengleichung in die koordinatenform umgewandelt:
(x/y/z) * (3/6/10) - (6/4/0) * (3/6/10) = 0
3x + 6y + 10z = 42
Sx (14/0/0)
Sy (0/7/0)
-> gxy :
[mm] \vec{X} [/mm] = (14/0/0) + r *(-14/7/0)
...um zu prüfen, ob A und B auf den ebenen liegen ,hab ich die punkte jeweils in die gerade eingesetzt, bei A hatte ich r = [mm] \bruch{4}{7}
[/mm]
bei B hatte ich r= [mm] \bruch{6}{7} [/mm] , also immer gleich bei allen 3 gleichungen jeweils, außer bei der dritten war immer 0 =0.
so..
Die Ebene E schneidet die Pyramide in einer dreieckigen Schnittfläche. Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Dreiecks. Berechnen Sie den Winkel, den diese dreieckige Schnittfläche mit der Grundfläche ABS der Pyramide einschließt.
^^ bei dieser aufgabe habe ich leider keinen ansatz :( ^?!
und dann noch: Zeigen Sie, dass die Gerade
g : [mm] \vec{x} [/mm] = (7/-2/-1)+r*(-2/3/2)
die Seitenfläche ABS der Pyramide schneidet und berechnen sie den Schnittwinkel, unter dem g die Pyramide schneidet.
hab als erstes die Ebene ABS aufgestellt, erst in Parameter, dann in Koordinatenform umgewandelt..
[mm] \vec{x} [/mm] = (6/4/0) + t *(-4/2/0) + s * (-4/-1/6)
und 3x + 2y = 42.
dann komm ich nich weiter...
Ich hoffe, diese Masse an Aufgaben schreckt nicht allzusehr ab, ich wollte aber auch nicht 10 verschiedene Threads eröffnen.
Ich bin dankbar für jeden Hilfe.
Schönen Abend noch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Sara66 |
Hey cellardoor88!
So, um schon mal einen kleinen Teil deiner Aufgaben zu beantworten:
Zu Teil 1) Da hat sich wohl nur ein kleiner Rechenfehler eingeschlichen, und zwar bei [mm] \alpha:
[/mm]
da müsste es heißen:
[mm] cos(\alpha)=\bruch{16}{\wurzel{20}*\wurzel{52}}
[/mm]
da der Betrag des Vektor [mm] \vektor{-4\\2 \\0} [/mm] = [mm] \wurzel{20} [/mm] ist. Hast du dann aber bei den andren Winkeln wieder richtig ;)
Teil 2) Flächeninhalt:
Da habe ich was andres heraus. Kenne ehrlich gesagt deine Formel nicht.
Habe erst den abstand von Punkt A zur geraden [mm] \overrightarrow{CB}
[/mm]
berechnet und dann einfach A=0,5*g*h gerechnet..
Komme so auf 9,787 F.E.
Hört sich zwar auch nicht super an, aber sowas kann schon mal als Zahlenwert rauskommen...
Hoffe ich kann dir damit schon mal ein bissl helfen.
Weiteres folgt hoffentlich!
Vg
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