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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist a²+b²=c² (a,b,c [mm] \in \IN), [/mm] dann gilt 12|ab und 60|abc. |
Hi,
Also ich bin mir sicher das es mit Restjkassen zutuen hat,
also wäre ein Ergebnis 3²+4²=5²
kann man davon ausgehen das 12|ab teilt also auch 12|2ab teilt ... da ab=0 mod 12 gilt.
Also 12x : (ab) = Ganze Zahl ohne Rest... und das gilt denn analog für abc|60
aber wie ich den Ansatz mache und zeige das wenn a²+b²=c² mache, weiss ich nicht so direkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Do 15.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 15.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie: Ist a²+b²=c² (a,b,c [mm]\in \IN),[/mm] dann gilt 12|ab
> und 60|abc.
Erstmal: dies ist aequivalent zu $3 [mm] \mid [/mm] (a b)$, $4 [mm] \mid [/mm] (a b)$ und $5 [mm] \mid [/mm] (a b c)$.
Dazu schaust du dir die Gleichung [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2$ [/mm] einmal modulo 3, einmal modulo 4 und einmal modulo 5 an.
Zum Beispiel modulo 3: Ist $a [mm] \not\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$, [/mm] so ist [mm] $a^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{3}$, [/mm] und ist $b [mm] \not\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$, [/mm] so ist [mm] $b^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{3}$, [/mm] womit [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{3}$ [/mm] ist. Nun ist jedoch [mm] $c^2$ [/mm] entweder kongruent zu 0 oder 1 modulo 3, womit mindestens $a$ oder $b$ kongruent zu 0 modulo 3 sein muss, also durch 3 teilbar. Aber dann gilt $3 [mm] \mid [/mm] (a b)$.
Fuer 4 und 5 sollte es aehnlich gehen, evtl. brauchst du dort jedoch noch ein paar mehr Tricks...
LG Felix
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