Q-lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Sa 25.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Sei A [mm] :=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ -1 & 0& 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 0 }
[/mm]
und sei f := [mm] \gamma_{A} [/mm] : [mm] \IQ^4 [/mm] -> [mm] \IQ^4 [/mm] die durch A
gegebene Q-lineare Abbildung.
(a) Berechnen Sie [mm] rang_{Q}Kern [/mm] f und [mm] rang_{Q}Bild [/mm] f.
(b) Geben Sie ein lineares Gleichungssystem in vier Unbestimmten an, dessen
Lösungsmenge Bild f ist. |
Hallo Alle,
ich komm irgendwie nicht mit der Aufgabenstellung zu rande, da ich mir die Abbildung einfach nciht vorstellen kann. Bis jetzt haben wir immer nur mit sachen gearbeitet die der form
f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
x -> [mm] x^2
[/mm]
genügten. aber gerade der 2te pfeil fehlt mir hier.
Ist die durch A gegebene Q-lineare Abbildung.
[mm] \gamma_{A} [/mm] : [mm] \IQ^4 [/mm] -> [mm] \IQ^4 [/mm]
x -> Ax
oder
[mm] \gamma_{A} [/mm] : [mm] \IQ^4 [/mm] -> [mm] \IQ^4 [/mm]
Ax -> x
oder irgendwas ganz anderes was sich meinem Horizont entzieht???
danke im vorraus, die maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Eschie |
> Sei A [mm]:=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ -1 & 0& 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 0 }[/mm]
>
> und sei f := [mm]\gamma_{A}[/mm] : [mm]\IQ^4[/mm] -> [mm]\IQ^4[/mm] die durch A
> gegebene Q-lineare Abbildung.
> (a) Berechnen Sie [mm]rang_{Q}Kern[/mm] f und [mm]rang_{Q}Bild[/mm] f.
> (b) Geben Sie ein lineares Gleichungssystem in vier
> Unbestimmten an, dessen
> Lösungsmenge Bild f ist.
> Hallo Alle,
>
> ich komm irgendwie nicht mit der Aufgabenstellung zu rande,
> da ich mir die Abbildung einfach nciht vorstellen kann. Bis
> jetzt haben wir immer nur mit sachen gearbeitet die der
> form
>
> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> x -> [mm]x^2[/mm]
>
> genügten. aber gerade der 2te pfeil fehlt mir hier.
>
> Ist die durch A gegebene Q-lineare Abbildung.
>
> [mm]\gamma_{A}[/mm] : [mm]\IQ^4[/mm] -> [mm]\IQ^4[/mm]
> x -> Ax
>
> oder
>
> [mm]\gamma_{A}[/mm] : [mm]\IQ^4[/mm] -> [mm]\IQ^4[/mm]
> Ax -> x
>
> oder irgendwas ganz anderes was sich meinem Horizont
> entzieht???
>
> danke im vorraus, die maxi
Ich hoffe mal, dass ich es noch richtig in Erinnerung habe.
Erstmal zum Verständnis: Die gesamte Matrix ist genauso eine Abbildung wie dein Beispiel f(x)=x².
Du kannst sie ja beispielsweise auch in folgender Form aufschreiben, wie man es früher in der Schule kennengelernt hat:
I 1w - 1x + 0y + 2z
II 0w - 1x + 1y - 2z
III ....
IV ....
Funktionen wie f(x)=x² benutzt man nur als Beispiel, um die Begriffe Kern und Bild zu erklären. Der Kern umfasst ja die Menge, die auf 0 abgebildet wird. So kann man diesen bei dem Beispiel f(x)=x+3 ermitteln, indem man die Funktion 0 setzt. Dadurch erhält man, dass nur der Wert x=-3 hier auf 0 abgebildet wird. Genauso kannst du auch die gesamte Matrix 0 setzen und so den Kern ermitteln. Ich hoffe, das konnte dir schon einmal ein bisschen weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Sa 25.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
Ehrlich gesagt hilft mir das noch nicht so wirklich weiter. Ich kann mir aufgrund der Erklärung noch nicht vorstellen was da passieren soll.
wäre toll wenn jemand einfach mal irgendein erfundenes beispiel posten könnte was den gegebenen bedingungen genügt!?
aber eins konnte ich bei dir rauslesen, da der rang A = 4 folgt dann wohl das rang kern f = 0, oder? und damit ja dann eig. auch das rang bild f = 4 sein muss?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Eschie |
Gut, hier ein Beispiel für die Berechnung des Kerns:
Folgende Matrix ist gegeben:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 0 & 2 }
[/mm]
Wie eben gesagt, kann man den Kern einfach berechnen, indem man die Matrix gleich 0 setzt. Das machen wir einfach mal:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 & | 0 \\ 2 & 4 & 3 & | 0 \\ 1 & 0 & 2 & | 0 }
[/mm]
Nun lösen wir die Gleichung nach Gauß auf und kommen auf folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 1 & 0 & | 0 \\ 0 & 0 & 1 & | 0 }
[/mm]
Hier wäre der Rang des Bildes nun 3, da 3 linear unabhängige Zeilen vorhanden wären. Wie du eben schon richtig gesagt hast, würde man daraus schließen könen, dass der Rang des Kerns nun hier im Beispiel 0 wäre.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 25.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
Ok sowit so gut,
aber in deinem Beispiel betrachtest du ja dann rang [mm] \pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 0 & 2 }.
[/mm]
das wäre bei meiner aufgabe dann rang A. aber A is ja nicht das gleich wie mein f, oder? A ist Matrix, f ist abbildung. und f ist irgendwie über A definiert, nur wie genau muss ich mir das vorstellen?
es geht mir sozusagen weniger darum die aufgabe zu lösen als vielmehr zu verstehen wie die abbildung funktioniert die mir da vorgeworfen wird.
mfg die maxi, und danke erstmal für die schnellen antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Sa 25.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Doch A ist dein f, so wie du etwa im 1d die Abbildunf f(x)=a*x hast (die einzige lineare 1d Abbildung, hast du hier [mm] f(\vec{x})=A*\vec{x}
[/mm]
Die fkt. ist nur sehr einfach, da sie linear ist.
eben nur Multiplikation mit ner Matrix.
Damit hast du doch zu jedem [mm] \vektor{q1 \\ q2 \\q3\\ q4}
[/mm]
wieder einen Vektor aus [mm] \IQ^4
[/mm]
Unterschied, der Kern der Abbildung kann ne ganze Reihe oder nur den Nullvektor enthalten. bei f(x)=ax ist fuer [mm] a\ne0 [/mm] der kern nur die 0, fuer a=0 ist der Kern 1d also ganz [mm] \IR [/mm] oder
[mm] \IQ [/mm] .
Uebrigens der Rang deiner Matrix ist nicht 4 sondern 3.
Bring sie so gut es geht auf Dreieckform, dann hast du eine 0 Zeile.
Nochmal eine fkt in R->R ordnet jeder reellen Zahl aus R eine reelle Zahl aus R zu. Eine fkt im [mm] \R^4 ->\IR^4 [/mm] ordnet jedem punkt in [mm] \IR^4 [/mm] wieder einen Punkt in [mm] \IR^4 [/mm] zu das ist alles. Die matrixmultiplikation ist genau so definiert, dass Matrix*x eine wohldefinierte fkt ist.
vielleicht noch mal ganz einfach in [mm] \IR^2
[/mm]
die matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & -1 }
[/mm]
macht aus jedem Vektor (a,b) den an der x-Achse gespiegelten (a,-b)
so wie die fkt f(x)=-1*x jede Zahl am 0 pkt speigelt.
Was entspricht jetzt der Abbildung f(x)=-3x im [mm] \IR^2
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Sa 25.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
Was entspricht jetzt der Abbildung f(x)=-3x im $ [mm] \IR^2 [/mm] $
das müsste ja dann [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -3 } [/mm] sein, oder?
Hab nochmal rang A nachgerechnet, rang A = 3.
A -> [mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
also habe ich eine zeile/spalte (was ist hier ausschlaggebend?) die überall = 0 ist. das heißt dann rang kern f = 1 ==> rang bild f = 3 [Wobei ich mir ehrlich gesagt nicht ganz sicher bin ob ich die Formel schon verwenden darf]
fehlt also nur noch mein lin. gl in 4 unbestimmten, dessen lösungsmenge bild f ist. kann ich da nicht einfach die zeilen aus meiner umgeformten matrix A nehmen? und wenn nicht wie kriege ich die dann raus?
mfg die maxi
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> Was entspricht jetzt der Abbildung f(x)=-3x im [mm]\IR^2[/mm]
>
> das müsste ja dann [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm] sein, oder?
Hallo,
ich weiß gar nicht, was Du meinst.
Dein f bildet doch von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] AB.
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -3 } [/mm] ist die darstellende Matrix von
[mm] g:\IR^2\to \IR^2
[/mm]
[mm] g(\vektor{x\\y}):=\vektor{x\\-3y}
[/mm]
>
>
> Hab nochmal rang A nachgerechnet, rang A = 3.
>
> A -> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> also habe ich eine zeile/spalte (was ist hier
> ausschlaggebend?)die überall = 0 ist.
Ausschlaggebend ist, wieviele Zeilen in der ZSF keine Nullzeilen sind.
Es ist egal, ob Du Zeilen oder Spalten zählst, weil das immer gleich ist.
> das heißt dann rang kern f = 1
Nennt Ihr das wirklich Rang? Normalerweise wird nach der Dimension des Kerns gefragt.
Es ist dim Kern f=1, richtig.
> ==> rang bild f = 3
Normal: die matrix hat den Rang 3, also ist dim Bild f=3.
> [Wobei ich mir ehrlich
> gesagt nicht ganz sicher bin ob ich die Formel schon
> verwenden darf]
>
> fehlt also nur noch mein lin. gl in 4 unbestimmten, dessen
> lösungsmenge bild f ist.
Die Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems ist doch die darstellende Matrix A.
Wir sind also bereits munter dabei, das GS zu lösen.
> kann ich da nicht einfach die
> zeilen aus meiner umgeformten matrix A nehmen? und wenn
> nicht wie kriege ich die dann raus?
Es gibt mehrere Möglichkeiten, ich finde, daß diese mit am wenigsten Aufwand verbunden ist:
die führenden Zeilenelemente stehen in der 1., 2., 3. Spalte.
Daraus kann man wissen, daß die ursprüngliche (!!!) 1., 2. und 3. Spalte zusammen eine Basis des Bildes bilden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 So 26.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
stimmt jetzt wo dus sagst, ich kenn eigentlich auch nur dimension in bezug auf bild und kern. aber in der aufgabenstellung steht wirklich rang. Aber es müsste ja dann das gleiche gemeint sein.
danke dir für die hilfe. mfg maxi
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> Sei A [mm]:=\pmat{ 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ -1 & 0& 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 0 }[/mm]
>
> und sei f := [mm]\gamma_{A}[/mm] : [mm]\IQ^4[/mm] -> [mm]\IQ^4[/mm] die durch A
> gegebene Q-lineare Abbildung.
> Ist die durch A gegebene Q-lineare Abbildung.
> [mm]\gamma_{A}[/mm] : [mm]\IQ^4[/mm] -> [mm]\IQ^4[/mm]
> [mm] x\mapsto [/mm] Ax
>
> oder irgendwas ganz anderes was sich meinem Horizont
> entzieht???
Hallo,
dies ist's.
Es ist A die darstellende Matrix der linearen Abbildung [mm] \gamma_a:
[/mm]
[mm] \gamma_{A}[/mm] [/mm] : [mm]\IQ^4[/mm][mm] \to[/mm] [mm]\IQ^4[/mm]
[mm] \gamma_A(x):=Ax.
[/mm]
Es wird also jeder Vektor [mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] durch [mm] \gamma_A [/mm] auf den Vektor
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ -1 & 0& 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 0 }\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{ 1x_1-1x_ 2+ 0x_ 3 +2x_ 4\\ 0x_1 -1x_ 2+1x_ 3 -2x_ 4 \\ -1x_1 +0x_ 2+4x_ 3 -2x_ 4 \\ 1x_1 -2x_2 + 1x_3 +0x_4 } [/mm] abgebildet.
Rechne das ruhig mal nach.
Wovon Du Dich auch überzeugen solltest: in den Spalten der darstellenden Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren.
Du kannst Dir daher überlegen, daß der Raum, der von den Spalten aufgespannt wird, das Bild der Abbildung ist.
Deine Chefs wollen sicher eine Basis des Bildes sehen.
Um den Kern zu finden, ist Ax=0 zu lösen.
Um dies zu meistern, bringe zunächst die Matrix auf ZSF, daran kann man dann alles sehen bzw. ablesen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Sa 25.04.2009 | | Autor: | maxi85 |
Dankeschön,
[mm] \gamma_A(x):=Ax. [/mm] ist doch schon fast alles was ich wissen wollte.
Ich denke mit deiner Erklärung sollte ichs locker hinkriegen. Danke dir.
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