QM - Teilchen im P-Kasten < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es ist ein unendlich hoher, dreidimensionaler Potentialtopf gegeben mit unendlich hohen Rändern:
$V(r)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0< x,y<a \wedge 0<z<b\ll a \mbox{ } \\ \infty , & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}$
Geben sie die allg. Form der Lsg der Schrödingergleichung an, führen sie dazu 3 Quantenzahlen ein und begründen sie die Gestalt der Lsg.
Bestimmen sie den Erwartungswert der z-Komponente des Drehimpulses der beiden untersten Energieniveaus |
Hallo liebes Forum,
den ersten Teil der Aufgabe habe ich hoffentlich korrekt gelöst:
$\psi(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{n_x\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{n_y\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{n_z\pi}{b}z\right)\cdot e^{-i\omega t}$
Mit $C=\sqrt{\bruch{8}{a^2b}$
(Was könnte mit "Begründen sie die Gestalt der Lsg" gemeint sein?)
Bzw. die allg. Lösung müsste dann die Summe über $n$ bis $\infty$ sein oder?
--
Das Problem liegt jetzt bei der z-Komponente des Drehimpulses. Der Operator dazu müsste
$\hat L_z=-i\hbar\left(x\bruch{\partial}{\partial y}-y\bruch{\partial}{\partial x}\right)$ sein.
Meine Wellenfkt sind keine Eigenfuntkionen zu diesem Operator, deshalb errechnet sich der Erwartungswert über
$\left< L_z \right> = \int_0^a\int_0^a\int_0^b\psi(\vec x,t)\hat L_z\psi^{*}(\vec x,t)dxdydz$
Wenn ich jetzt aber den Operator auf meine Fkt anwende und dann mit der urspr. Funktion Multipliziere bekomme ich aber was in der Art
$\left< L_z \right>=K\cdot \int_0^a\int_0^a\int_0^b x\cdot\sin^2(k_1x)\sin(k_2y)\cos(k_2y)\sin^2(k_3z)dxdydz-K\int\int\int(...)\sin(k_1x)\cos(k_1x)(...)dxdydz$
Die Integration über sin*cos in den jeweiligen Integrale verschindet aber logischer weise immer...somit wird der Erwartungswert immer 0 sein, was mMn nicht sein sollte...
Jetzt weiß ich nicht wo mein Fehler liegen koennte.
Hat da jmd eine Idee?
Vielen Dank schonmal,
nhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Fr 17.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es ist ein unendlich hoher, dreidimensionaler Potentialtopf
> gegeben mit unendlich hohen Rändern:
>
> [mm]V(r)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } 0< x,y
>
> Geben sie die allg. Form der Lsg der Schrödingergleichung
> an, führen sie dazu 3 Quantenzahlen ein und begründen sie
> die Gestalt der Lsg.
>
> Bestimmen sie den Erwartungswert der z-Komponente des
> Drehimpulses der beiden untersten Energieniveaus
> Hallo liebes Forum,
>
> den ersten Teil der Aufgabe habe ich hoffentlich korrekt
> gelöst:
>
> [mm]\psi(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{n_x\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{n_y\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{n_z\pi}{b}z\right)\cdot e^{-i\omega t}[/mm]
>
> Mit [mm]C=\sqrt{\bruch{8}{a^2b}[/mm]
>
> (Was könnte mit "Begründen sie die Gestalt der Lsg"
> gemeint sein?)
>
> Bzw. die allg. Lösung müsste dann die Summe über [mm]n[/mm] bis
> [mm]\infty[/mm] sein oder?
>
> --
> Das Problem liegt jetzt bei der z-Komponente des
> Drehimpulses. Der Operator dazu müsste
>
> [mm]\hat L_z=-i\hbar\left(x\bruch{\partial}{\partial y}-y\bruch{\partial}{\partial x}\right)[/mm]
> sein.
>
> Meine Wellenfkt sind keine Eigenfuntkionen zu diesem
> Operator, deshalb errechnet sich der Erwartungswert über
>
> [mm]\left< L_z \right> = \int_0^a\int_0^a\int_0^b\psi(\vec x,t)\hat L_z\psi^{*}(\vec x,t)dxdydz[/mm]
>
> Wenn ich jetzt aber den Operator auf meine Fkt anwende und
> dann mit der urspr. Funktion Multipliziere bekomme ich aber
> was in der Art
>
> [mm]\left< L_z \right>=K\cdot \int_0^a\int_0^a\int_0^b x\cdot\sin^2(k_1x)\sin(k_2y)\cos(k_2y)\sin^2(k_3z)dxdydz-K\int\int\int(...)\sin(k_1x)\cos(k_1x)(...)dxdydz[/mm]
>
> Die Integration über sin*cos in den jeweiligen Integrale
> verschindet aber logischer weise immer...
Nicht immer, nur für [mm] $k_2 \not=0$ [/mm] bzw. [mm] $k_1\not=0$.
[/mm]
Welches sind denn die Wellenfunktionen für die beiden untersten Energieniveaus?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 17.02.2012 | | Autor: | nhard |
>
> Nicht immer, nur für [mm]k_2 \not=0[/mm] bzw. [mm]k_1\not=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Hm wenn $k_1=0$ oder $k_2=0$ wäre doch die ganze Funktion 0 und somit auc das Integral, oder?
>
> Welches sind denn die Wellenfunktionen für die beiden
> untersten Energieniveaus?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Danke für deine Antwort!
Die Energie ist
$E_n=\bruch{\hbar^2k^2}{2m}=\bruch{\hbar^2\pi^2}{2m}\left({\bruch{n_x^2}{a^2}+\bruch{n_y^2}{a^2}+\bruch{n_z^2}{b^2}\right)$
Das niedrigste Energieniveau ist demnach für $n_x=n_y=n_z=1$ das nächstniedrige wäre $n_x=2, n_y=n_z=1$ (2fach entartet). Vermute darauf sollte auch das $b\ll a$ im Potential abziehlen (?).
Die Wellenfuntkion ist dann für $E_1$:
$\psi_1(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{\pi}{b}z\right)\cdot T(t)$
Für $E_2$ entsprechend:
$\psi_2(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{2\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{\pi}{b}z\right)\cdot T(t)$
Hm falls meine Funktionen nicht hier schon falsch sind besteht mein Problem jetzt aber immernoch..
Vielen Dank für die Mühe
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Sa 18.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> >
> > Nicht immer, nur für [mm]k_2 \not=0[/mm] bzw. [mm]k_1\not=0[/mm].
>
> Hm wenn [mm]k_1=0[/mm] oder [mm]k_2=0[/mm] wäre doch die ganze Funktion 0
> und somit auc das Integral, oder?
Du hast natürlich recht; ich hatte die Lösungen mit Cosinus im Hinterkopf, aber die gehören zu anderen Randbedingungen.
> >
> > Welches sind denn die Wellenfunktionen für die beiden
> > untersten Energieniveaus?
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Danke für deine Antwort!
>
> Die Energie ist
>
> [mm]E_n=\bruch{\hbar^2k^2}{2m}=\bruch{\hbar^2\pi^2}{2m}\left({\bruch{n_x^2}{a^2}+\bruch{n_y^2}{a^2}+\bruch{n_z^2}{b^2}\right)[/mm]
>
> Das niedrigste Energieniveau ist demnach für [mm]n_x=n_y=n_z=1[/mm]
> das nächstniedrige wäre [mm]n_x=2, n_y=n_z=1[/mm] (2fach
> entartet).
Nicht ganz: zum zweitniedrigsten gehören zwei Sätze von Quantenzahlen: [mm]n_x=2, n_y=n_z=1[/mm] und [mm]n_x=1, n_y=2,n_z=1[/mm], also auch zwei unterschiedliche Lösungen.
> Vermute darauf sollte auch das [mm]b\ll a[/mm] im
> Potential abziehlen (?).
Ja, denn die Energie zu [mm] $n_x=n_y=1$, $n_z=2$ [/mm] ist deutlich größer.
>
> Die Wellenfuntkion ist dann für [mm]E_1[/mm]:
>
> [mm]\psi_1(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{\pi}{b}z\right)\cdot T(t)[/mm]
>
> Für [mm]E_2[/mm] entsprechend:
>
> [mm]\psi_2(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{2\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{\pi}{b}z\right)\cdot T(t)[/mm]
Wie gesagt, da gibt es zwei zueinander orthogonale Lösungen, also ist auch jede Linearkombination der beiden ein Zustand zur Energie [mm] $E_2$.
[/mm]
Das ist auch plausibel, da das Potential invariant unter Vertauschung der x- und y-Koordinaten ist, sollte sich bei dieser Vertauschung die Energie nicht ändern. (Das auch noch als Teilantwort auf die Frage nach der Gestalt der Wellenfunktionen.)
> Hm falls meine Funktionen nicht hier schon falsch sind
> besteht mein Problem jetzt aber immernoch..
Warum meinst du, dass der Erwartungswert von [mm] $L_z$ [/mm] nicht Null sein sollte? Für den Grundzustand ist das doch nicht ungewöhnlich.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Sa 18.02.2012 | | Autor: | nhard |
Vielen Dank für deine Antwort! :)
> > Das niedrigste Energieniveau ist demnach für [mm]n_x=n_y=n_z=1[/mm]
> > das nächstniedrige wäre [mm]n_x=2, n_y=n_z=1[/mm] (2fach
> > entartet).
>
> Nicht ganz: zum zweitniedrigsten gehören zwei Sätze von
> Quantenzahlen: [mm]n_x=2, n_y=n_z=1[/mm] und [mm]n_x=1, n_y=2,n_z=1[/mm],
> also auch zwei unterschiedliche Lösungen.
Das wollte ich durch 2fach entartet andeuten, also dass es 2 unterschiedliche Lösungen gibt, welche aber die gleiche Energie haben. Oder ist der Begriff "Entartung" an der Stelle nicht korrekt?
> >
> > Die Wellenfuntkion ist dann für [mm]E_1[/mm]:
> >
> > [mm]\psi_1(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{\pi}{b}z\right)\cdot T(t)[/mm]
>
> >
> > Für [mm]E_2[/mm] entsprechend:
> >
> > [mm]\psi_2(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{2\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{\pi}{b}z\right)\cdot T(t)[/mm]
>
> Wie gesagt, da gibt es zwei zueinander orthogonale
> Lösungen, also ist auch jede Linearkombination der beiden
> ein Zustand zur Energie [mm]E_2[/mm].
Hm, glaube so war mir das noch nicht klar..
Also bisschen allgemeiner würde das dann heißen:
Wenn ich 2 verschiedene Eigenfunktionen zu einem Operator habe und beide den gleichen Eigenwert liefern,
dann liefert auch jede beliebige Linearkombination der beiden Lösungen den gleichen Eigenwert?
In diesem Fall: 2 Lsg liefern gleiche Energie -> lin. Kombination der Lsg liefert wieder die gleiche Energie
Stimmt das so?
> > Hm falls meine Funktionen nicht hier schon falsch sind
> > besteht mein Problem jetzt aber immernoch..
>
> Warum meinst du, dass der Erwartungswert von [mm]L_z[/mm] nicht Null
> sein sollte? Für den Grundzustand ist das doch nicht
> ungewöhnlich.
>
Okay glaube ich war/bin mir nicht ganz bewusst, was dieser Erwartungswert für die z-Komponente bedeutet.
Meine erste Überlegung war, dass es eine z-Komponente geben müsste, da sich das Teilchen sonst nicht in der xy-Eben bewegen dürfte.
Aber hier ist ja nach dem Erwartungswert gefragt, d.h. "im mittel" (stimmt das?) ist die z-Komponente 0.
Aber warum wäre es dann interessant das für beide Energieniveaus auszurechnen?
Wäre das so ähnlich wie beim Drehimpuls des Elektrons im Wasserstoff Atom bei einem Magnetfeld [mm] $\vec B=B\cdot \vec e_Z$? [/mm]
Da [mm] $\vec M=\vec \mu_l\times \vec [/mm] B$ ist mit [mm] $\vec \mu_l=k\cdot \vec [/mm] l$ ist $d/dt [mm] l_z=0$ [/mm] d.h. der Drehimpulsvektor "kreist" um die z-Achse.
Ich weiß, dass [mm] $l_z=m\cdot\hbar$ [/mm] ist. Der Betrag ist [mm] $|\vec l|=\sqrt{l(l+1)}\hbar$.
[/mm]
Der Erwartungswert für [mm] $l_x$ [/mm] und [mm] $l_y$ [/mm] müsste dann auch 0 sein, obwohl [mm] $l_x$ [/mm] und [mm] $l_y$ [/mm] "eigentlich nie 0" sind.
---
Mir ist gerade noch was aufgefallen:
Meine Lösungen sind alle Reell. Der Drehimpulsoperator ist aber komplex, mein Erwartungswert sollte aber eine messbare Größe sein, also nicht komplex.
Darauf koennte man doch auch schon schließen, dass er verschwinden muss? Oder so ähnlich...
----
Zur Gestalt der Wellenfunktion:
Wie du schon geschrieben hast, hätte ich jetzt einmal feststellen sollen, dass das Potential invariant unter vertauschen von x und y ist.
Aber ich sehe sonst nichts "außergewöhnliches" an der Lsg das ich noch irgendwie "begründen" könnte.
Sorry, so viele Fragen :(
lg!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 So 19.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank für deine Antwort! :)
>
> > > Das niedrigste Energieniveau ist demnach für [mm]n_x=n_y=n_z=1[/mm]
> > > das nächstniedrige wäre [mm]n_x=2, n_y=n_z=1[/mm] (2fach
> > > entartet).
> >
> > Nicht ganz: zum zweitniedrigsten gehören zwei Sätze von
> > Quantenzahlen: [mm]n_x=2, n_y=n_z=1[/mm] und [mm]n_x=1, n_y=2,n_z=1[/mm],
> > also auch zwei unterschiedliche Lösungen.
>
> Das wollte ich durch 2fach entartet andeuten, also dass es
> 2 unterschiedliche Lösungen gibt, welche aber die gleiche
> Energie haben. Oder ist der Begriff "Entartung" an der
> Stelle nicht korrekt?
Doch, Entartung ist richtig. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass die beiden Zustände unterschiedliche Quantenzahlen haben, was in deinem Post nicht klar war.
>
>
> > >
> > > Die Wellenfuntkion ist dann für [mm]E_1[/mm]:
> > >
> > > [mm]\psi_1(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{\pi}{b}z\right)\cdot T(t)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für [mm]E_2[/mm] entsprechend:
> > >
> > > [mm]\psi_2(\vec x,t)=C\cdot\sin\left(\bruch{2\pi}{a}x\right)\sin\left(\bruch{\pi}{a}y\right)\sin\left(\bruch{\pi}{b}z\right)\cdot T(t)[/mm]
>
> >
> > Wie gesagt, da gibt es zwei zueinander orthogonale
> > Lösungen, also ist auch jede Linearkombination der beiden
> > ein Zustand zur Energie [mm]E_2[/mm].
>
> Hm, glaube so war mir das noch nicht klar..
> Also bisschen allgemeiner würde das dann heißen:
>
> Wenn ich 2 verschiedene Eigenfunktionen zu einem Operator
> habe und beide den gleichen Eigenwert liefern,
> dann liefert auch jede beliebige Linearkombination der
> beiden Lösungen den gleichen Eigenwert?
Ja. Das ist übrigens schon für (reguläre) Matrizen so: zu einem n-fachen Eigenwert gehört ein n-dimensionaler Eigenraum, dessen Basis frei wählbar ist.
> In diesem Fall: 2 Lsg liefern gleiche Energie -> lin.
> Kombination der Lsg liefert wieder die gleiche Energie
>
> Stimmt das so?
Ja, das folgt unmittelbar aus der Linearität der Operatoren:
[mm] O(c_1\psi_1+c_2\psi_2) = c_1 O\psi_1 +c _2 O\psi_2 [/mm] .
>
> > > Hm falls meine Funktionen nicht hier schon falsch sind
> > > besteht mein Problem jetzt aber immernoch..
> >
> > Warum meinst du, dass der Erwartungswert von [mm]L_z[/mm] nicht Null
> > sein sollte? Für den Grundzustand ist das doch nicht
> > ungewöhnlich.
> >
>
> Okay glaube ich war/bin mir nicht ganz bewusst, was dieser
> Erwartungswert für die z-Komponente bedeutet.
>
> Meine erste Überlegung war, dass es eine z-Komponente
> geben müsste, da sich das Teilchen sonst nicht in der
> xy-Eben bewegen dürfte.
Von Teilchen kann hier gar keine Rede sein. Deine Lösungen sind stehende Wellen. Es sind zum Beispiel keine Eigenfunktionen des Impulsoperators. Die Eigenfunktionen zu [mm] $p_x$ [/mm] wären ja
[mm] e^{\pm i n_1\pi/a} [/mm]
und dein Sinus ist ja
[mm] \bruch{1}{2i}(e^{+ i n_1\pi/a}-e^{- i n_1\pi/a})[/mm] .
Es handelt sich also um eine Überlagerung einer vorwärts- und einer rückwärtslaufenden Welle mit dem gliechen Betrag des Impulses.
Kein Wunder, dass der Drehimpuls Null ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 So 19.02.2012 | | Autor: | nhard |
Alles klar, danke für deine Hilfe!
Hoffe ich habe es im Ansatz richtig verstanden.
Ich verstehe nur denn Sinn dieser Aufgabe nicht..
In einem weiteren Teil soll noch begründet werden warum [mm] $\Phi=C*(\psi_1_1+i\psi_1_2)$ [/mm] auch eine Lösung ist. Dabei sollen das die Zustände des zweiten Energieniveaus sein.
Das wäre ja jetzt gerade ein Beispiel für eine lin. Kombination, oder?
Und dann soll man für [mm] $\Phi$ [/mm] auch wieder den Erwartungswert der z-Komponente des Drehimpulses ausrechnen.
Falls ichs jetzt richtig verstanden habe, kommt hier aber wieder nur 0 raus?
Vielen, vielen Dank!
lg
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