Q ist nicht vollständig < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 21.11.2007 | | Autor: | niandis |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass der angeordnete Körper [mm] (\IQ,\IQ_+) [/mm] nicht vollständig ist.
Betrachten Sie M = {x [mm] \in \IQ_+ [/mm] | [mm] x^2 \le [/mm] 2}. |
Hallo,
ich soll oben angegebene Aufgabe lösen.
Ich weiß auch schon, dass ich dazu zeigen muss, dass M beschränkt ist und das s = sup M eine Quadratwurzel von 2 wäre, wenn ein solches Element in [mm] \IQ [/mm] existiert. Dann zeige ich, dass 2 in [mm] \IQ [/mm] keine Quadratwurzel besitzt.
Somit habe ich dann bewiesen, dass der Körper [mm] (\IQ,\IQ_+) [/mm] nicht vollständig ist.
Die Theorie ist mir soweit klar.
Allerdings habe ich ein Problem mit den Beweisen.
Ich weiß zwar wie ich beweise, dass [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ, [/mm] die anderen beiden Beweise sind mir allerdings ein Rätsel.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand dabei helfen würde.
liebe grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich verstehe jetzt nicht deine Notationen, ich versuche es aber trotzdem einmal:
M ist beschraenkt nach oben und unten: $x<0, [mm] x\in\IQ$ [/mm] sind untere Schranken. $x=$ sagen wir mal $10000$ ist eine zulaessige Schranke.
Die zweite Frage verstehe ich nicht: [mm] $\sqrt{2}\not\in \IQ$ [/mm] ist klar. [mm] $\sup M=\sqrt{2}$ [/mm] sollte wohl nachgewiesen werden. Dazu sollte es wohl reichen zu zeigen, dass fuer jede obere Schranke [mm] $b\in\IQ\setminus [/mm] M$ von $M$: [mm] $b\geq \sqrt{2}$. [/mm] Angenommen nicht, dann existiert [mm] $b<\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $b\geq [/mm] x$ fuer alle [mm] $x\in [/mm] M$. Das heisst aber, dass [mm] $b^2<2$ [/mm] und deswegen [mm] $b\in [/mm] M$. Murks.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 21.11.2007 | | Autor: | niandis |
Danke schonmal für die schnelle Antwort.
Das hilft mir schonmal sehr weiter. Jetzt hätte ich nur noch eine kleine frage.
Und zwar ob ich denn noch beweisen muss, dass M überhaupt beschränkt ist bzw. ob es überhaupt einen formalen Beweis für die Beschränktheit von Mengen gibt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Do 22.11.2007 | | Autor: | kornfeld |
Ich habe mir jetzt mal die Definition von einem angeordneten Koerper angeschaut: Nuetzlicher Link:
http://www.math.uni-siegen.de/numerik/notes/ANAOnline/node15.html
Gewissermassen erklaert man eine Relation auf [mm] $\IQ$ [/mm] durch den positiven Kegel [mm] $P=\IQ_+$(positive [/mm] rationale Zahlen ohne die $0$): $x>_{P} [mm] y:\LeftRightarrow x-y\in [/mm] P$. Die Ordnung $>_{P}$ stimmt damit mit der ueblichen Ordnung ueberein. Das problem ist folgendes: Bezueglich $>$ sollte wahrsch. gezeigt werden, dass $M$ beschraenkt ist, aber das Supremum (oder Infimum) nicht in [mm] $(\IQ,P)$. [/mm] Das ist entscheidend, denn in vollstaendigen Koerper ist die obere (oder untere) Schranke immer drin!
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> Zeigen Sie, dass der angeordnete Körper [mm](\IQ,\IQ_+)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nicht
> vollständig ist.
> Betrachten Sie M = {x [mm]\in \IQ_+[/mm] | [mm]x^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2}.
> Hallo,
> ich soll oben angegebene Aufgabe lösen.
> Ich weiß auch schon, dass ich dazu zeigen muss,
Hallo,
an dieser Stelle würde ich gerne einhaken.
Woher weißt Du das, oder anders gefragt:
wie habt Ihr "vollständiger Körper" denn definiert?
Und nochwas was soll (\IQ,\IQ_+) bedeuten?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:39 Mi 21.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela
Auch wenn das jetzt schon lang her ist:
> Und nochwas was soll [mm] (\IQ,\IQ_+) [/mm] bedeuten?
Um einen Koerper $K$ anzuordnen, kann man entweder eine Ordnung [mm] $\le$ [/mm] auf diesem angeben, oder eine Teilmenge $P [mm] \subseteq [/mm] K$ mit folgenden Eigenschaften:
(i) $P + P [mm] \subseteq [/mm] P$;
(ii) $P [mm] \cdot [/mm] P [mm] \subseteq [/mm] P$;
(iii) fur jedes $x [mm] \in [/mm] K$ trifft genau einer der drei Faelle zu: $x = 0$, $x [mm] \in [/mm] P$ oder $-x [mm] \in [/mm] P$.
($P$ soll die Menge der Elemente $> 0$ sein!)
Dann definiert man $x [mm] \le [/mm] y [mm] :\Longleftrightarrow [/mm] y - x [mm] \in [/mm] P$ und schon hat man eine Ordnung auf $K$, die viele schoene Eigenschaften hat :) Umgekehrt kann man jeder vernuenftigen Ordnung auf $K$ eine solche Teilmenge $P$ zuordnen durch $P = [mm] \{ x \in K \mid x > 0 \}$.
[/mm]
Das ganze findet sich etwa in der ![[]](/images/popup.gif) englischsprachigen Wikipedia (in der Deutschen ist das einfach nicht erwaehnt...).
LG Felix
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