Quadrat Primf.Zerlegung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 23.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Sei $n [mm] \in \IN$. [/mm] Beweisen Sie: $n$ ist eine Quadratzahl, also [mm] $n=a^2$ [/mm] für ein $a [mm] \in \IN$, [/mm] genau dann, wenn alle Exponenten der Primfaktorzerlegung von $n$ gerade sind. |
Hallo Forum,
bei der Aufgabe bin ich etwas am Zweifeln. Hier habe ich eine "genau dann, wenn" Aussage zu zeigen. Muss ich hier die Implikation in zwei Richtungen zeigen, oder kann ich diese Aufgabe auch folgendermaßen lösen?
Sei [mm] $a=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i}$ [/mm] die Primfaktorzerlegung von $a$. Dann ist
[mm] $n=a^2=(\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i})^2=\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i*2}$
[/mm]
Die Primfaktorzerlegung der Quadratzahl $n$ und alle Exponenten dieser Primfaktorzerlegung sind durch 2 teilbar.
Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 23.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ist genau der Beweis der einen Richtung (Quadratzahl [mm] \Rightarrow [/mm] gerade Primfaktorexponenten).
Jetzt kommt die andere Richtung dran: die Existenz einer natürlichen Zahl a muss bewiesen (nicht vorausgesetzt) werden.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 23.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich hatte schon gehofft, die verwendeten Gleichheitszeichen würden die Äquivalenz der Aussagen zeigen, war mir aber nicht sicher.
Grüße,
Micha
Hier noch die fehlende Richtung:
2). Alle Exponenten der Primfaktorzerlegung von n sind gerade, somit folgt, n ist eine Quadratzahl.
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine Zahl, deren Exponenten ihrer Primfaktorzerlegung gerade sind, dann gilt:
[mm] $n=\produkt_{i=1}^{m} p_i^{e_i*2}=(\produkt_{i=1}^{n} p_i^{e_i})^2$
[/mm]
Damit existiert eine natürliche Zahl a mit [mm] $a=\produkt_{i=1}^{m} p_i^{e_i}$ [/mm] und es folgt:
[mm] $n=a^2$, [/mm] also n ist eine Quadratzahl
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Hey,
nur eine ganz kleine Anmerkung, um deinen Beweis komplett zu machen:
Es gibt eine natürliche Zahl, die man bei sowas immer gern vergisst. Eine einzige Zahl, die keine Primfaktorzerlegung besitzt. Pass auf, dass du diese Zahl auch mit beachtest; verdeutliche vielleicht nochmal, dass du diesen Fall nicht vergessen hast.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 23.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Schadow,
Ich denke du meinst den Fall n=1, den ich echt nicht bedacht hatte.
Ergänzungen zur ersten Implikation:
ist $n=1$, dann [mm] $n=n^2=p^{0*2}$, [/mm] wobei p eine Primzahl ist. Somit ist der Exponent durch zwei teilbar.
Ergänzung zur zweiten Implikation:
Ist der Exponent der Primfaktorzerlegung=0 und somit auch durch 2 teilbar, dann ist
[mm] $p^{2*0}=1$ [/mm] und 1 ist die Quadratzahl von 1.
Vielen Dank,
Passt das jetzt so?
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Hallo mbra,
ich zögere es mal ein bisschen hinaus...
> Hallo Schadow,
> Ich denke du meinst den Fall n=1, den ich echt nicht
> bedacht hatte.
>
> Ergänzungen zur ersten Implikation:
>
> ist [mm]n=1[/mm], dann [mm]n=n^2=p^{0*2}[/mm], wobei p eine Primzahl ist.
> Somit ist der Exponent durch zwei teilbar.
>
> Ergänzung zur zweiten Implikation:
>
> Ist der Exponent der Primfaktorzerlegung=0 und somit auch
> durch 2 teilbar, dann ist
>
> [mm]p^{2*0}=1[/mm] und 1 ist die Quadratzahl von 1.
>
>
> Vielen Dank,
> Passt das jetzt so?
Ja, das passt genau so.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 23.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Vielen Dank!
Könnte noch jemand die noch offene Frage herausnehmen, oder als beantwortet setzen. Ich habe leider nicht gefunden, wie ich das selber machen kann.
Super Forum hier !!!
Micha
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