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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Rio |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
folgendes Problem :
Gegeben ist eine beliebige ganze Zahl. Nehmen wir die 16.
Diese Zahl soll nun zu einem ganzzahligen Quadrat addiert werden. Einem Quadrat wie der Zahl 9. Die Bedingung ist, dass die Summe beider ebenfalls ein ganzzahliges Quadrat ist; hier 25.
16 + 9 = 25
Ist jemandem eine Formel oder ein Weg bekannt eines der Quadrate zu ermitteln? (Stupides Durchprobieren zählt nicht) Wichtig ist außerdem, dass beide Quadrate die kleinst möglichen sind.
Grüße
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Hallo Rio,
Falls die gegebene Zahl eine Restklasse 2 modulo 4 ist, kann es solche Quadrate nicht geben.
Wir wollen: [mm] $m+n^2=p^2$ $\Leftrightarrow$ $p^2-n^2=(p+n)*(p-n)=m$
[/mm]
Sei nun $m [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 4$.
Dann gilt: $(p+n)*(p-n) [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \mod [/mm] 4$
Einer der beiden Faktoren muss gerade sein, also ist auch der andere gerade, und die linke Seite eine Restklasse 0 modulo 4.
In diesem Fall ist die Gleichung unlösbar.
Ansonsten ist es zielführend
n=l und
p=l+1 bzw p=l+2
anzusetzen
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Di 04.10.2005 | | Autor: | Rio |
Hallo Bastiane und holy_diver_80
Hab mir das mit dem "Pyth. Tripel" mal angeschaut. Ok. Danke erstmal.
Hmm, allerdings löst das mein Problem nicht (natürlich zieh' ich auch in Betracht das Thema nicht wirklich durchdrungen zu haben). Vermutlich hast Du mir das Tripel vorgeschlagen, weil ich in meinem Beispiel die 16 [mm] (4^2) [/mm] verwendet habe. Nun gut. Neuer Versuch?
- Ich habe nur eine Zahl
- Sie ist immer gerade & ganzzahlig.
- Sie ist kein Quadrat.
- Sie darf nicht quadriert werden.
Gesucht ist ein mgl. kleines Quadrat, welches in der Summe mit besagter Zahl wiederum ein Quadrat zur Folge hat.
Die 16 war ein blödes Beispiel ;). Nehmen wir die 60. Diese Zahl ist bekannt. Die beiden Quadrate nicht.
60 + [mm] 2^2 [/mm] = [mm] 8^2
[/mm]
Wie bestimme ich jetzt [mm] 2^2 [/mm] und [mm] 8^2 [/mm] ?
holy_diver_80, ich kann Dir momentan nicht ganz folgen. Restklasse??, muss später mal nachschauen. mod ist mir ein Begriff. Alles was ich weiß ist, dass diese Quadrate für die oben genannte Definition der Zahl existieren. Versprochen.
So ihr beiden, ich hoffe die Sachlage etwas akkurater, wenngleich auch nicht mit den euch geläufigen mathematischen Formelzeichen, "dargestellt" zu haben.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:50 Di 04.10.2005 | | Autor: | Rio |
..ups, hab noch eine Kleinigkeit vergessen. Die Zahl muss außerdem restlos durch vier teilbar sein. So, haben wirs jetzt? Mein Güte. -:)
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Hallo Rio,
Verzeih mir, dass ich Dich in meinem ersten Post überfordert habe. Das hier ist jetzt einfacher.
Wenn die Zahl restlos durch 4 teilbar sein muss, gibt es solche Zahlen. Denn:
Sei m eine durch 4 teilbare Zahl, also $m=4*n$. Finde Zahlen a und b so, dass
[mm] $a^2 [/mm] + m = [mm] b^2$
[/mm]
Setze b=a+2 und forme um
[mm] $(a+2)^2 [/mm] - [mm] a^2 [/mm] = m$ [mm] $\Rightarrow \ldots \Rightarrow$ $a=\bruch{m}{4}-1$
[/mm]
Also gibt es solche Zahlen. (Für ungerade Zahlen m funktioniert übrigens der Ansatz b=a+1. Nur bei geraden Zahlen, die nicht durch 4 gehen, funktioniert die Sache nicht. Das steht in meinem ersten Post.)
Auf diese Weise erhält man aber nicht die kleinsten solchen Zahlen. Für m=40, liefert diese Methode a=9 und b=11. Für a=3 und b=7 geht die Sache aber auch schon gut.
ABER: Für alle m kennen wir jetzt ein Beispiel. Größer können die minimalen Zahlen nicht sein. Daher muss man für ein m nur noch die endlich vielen kleineren Zahlen überprüfen. Das ist nicht elegant, aber was besseres wird mir heute nicht mehr einfallen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Di 04.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (a+b)*(a-b)=a^{2}-b^{2}
[/mm]
Zerleg deine durch 4 teilbare Zahl in das Produkt aus zwei geraden Zahlen g1*g2, mit g1>g2, das kleins mögliche Paar. dann hast du a+b=g1;a-b=g2 und kannst a und b bestimmen .und es gilt :
[mm] g1*g2+b^{2}=a^{2}
[/mm]
Beispiel 60=6*10 a+b=10 a-b=6 2a=16, 2b=4. oder 80=8*10 2a=18, 2b=2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 04.10.2005 | | Autor: | Rio |
Hallo holy diver!
Papperlapapp. Du hast mich nicht überfordert. Du hast nur meinen Kenntnisstand überschritten. Macht nichts. Lernen macht Spaß.
Hab das jetzt alles soweit verstanden. Doch wie kann man für ein "m" nur noch die endlich vielen kleineren Zahlen überprüfen. Kannst Du das bitte etwas konkretisieren.
Hallo leduart!
Rekapitulation:
Ich zerlege (wie auch immer) meine Zahl in das kleinst mögliche Paar gerader Zahlen. In meinem Beispiel mit der 60 hast Du die 6*10 verwendet. Warum nicht 2*30 oder 3*20 ?
Wenn Du damit meinst, dass sie möglichst nahe beieinander liegen müssen, dann habe ich nur noch eine Frage an Dich: Wie zerlege ich in diese beiden Zahlen ?
Danke für eure Zeit & Geduld
mehrere Grüße, Rio
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Hallo Rio,
> Rekapitulation:
>
> Ich zerlege (wie auch immer) meine Zahl in das kleinst
> mögliche Paar gerader Zahlen. In meinem Beispiel mit der 60
> hast Du die 6*10 verwendet. Warum nicht 2*30 oder 3*20 ?
> Wenn Du damit meinst, dass sie möglichst nahe beieinander
> liegen müssen, dann habe ich nur noch eine Frage an Dich:
> Wie zerlege ich in diese beiden Zahlen ?
die Gleichung lautet:
[mm]z\; + \;n^2 \; = \;m^2 [/mm]
Diese Gleichung wird nun nach z umgeformt:
[mm]z\; = \;m^2 \; - \;n^2 \; = \;\left( {m\; - \;n} \right)\;\left( {m\; + \;n} \right)[/mm]
z ist also ein Produkt von zwei Zahlen [mm]m\;-\;n[/mm] und [mm]m\;+\;n[/mm].
Hierbei durchlaufen die beiden Zahlen alle Teiler von z.
Gruß
MathePower
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