Quadrate und Rechtecke < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 19.08.2007 | | Autor: | Leypold |
Hallo, ich bitte um Hilfe.
Ich habe ein "großes" quadratisches Gitter (Quadrat), dass aus 15 x 15 (in x- und y-Richtung) gleich großen einzelnen kleineren Quadraten besteht.
Frage: Wieviel Quadrate und Rechtecke sind in dem "großen" Quadrat enthalten.
Also: auf jeden Fall einmal 15 x 15 kleine Quadrate plus das große Quadrat ergibt schon mal 225 plus 1 = 226, aber es sind in jedem Fall wesentlich Quadrate und Rechtecke.
Es gibt eine Formel zum Errechnen der Qudrate und Rechtecke? Oder?
Herzlichen Dank für die Hilfe.
Ich haben diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Leypold,
> Ich habe ein "großes" quadratisches Gitter (Quadrat), dass
> aus 15 x 15 (in x- und y-Richtung) gleich großen einzelnen
> kleineren Quadraten besteht.
> Frage: Wieviel Quadrate und Rechtecke sind in dem "großen"
> Quadrat enthalten.
Die Aufgabe ist etwas seltsam formuliert, da ein Quadrat ein spezielles Rechteck ist; Oder sollen die Quadrate extra "nochmal" dazugezählt werden?
Schaue dir jedenfalls ![[]](/images/popup.gif) diese Seite an und suche dort nach "Anzahl der Rechtecke". Das sollte deine Frage etwas beantworten.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 So 19.08.2007 | | Autor: | Leypold |
Hallo Karl,
zunächst einmal danke für Deinen Hinweis.
Nur, was ich als Ergebnis brauche ist nicht die Gesamtzahl aller Quadrate und Rechtecke, sondern einzeln, also wieviel Quadrate und wieviel Rechtecke ergebn sich.
Gruß Helmut
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hallo Leypold,
also mein Ansatz war: (wenn vielleicht auch etwas komplizierter wie nötig, aber was einfacheres fiel mir nicht ein)
[mm] \sum_{i=1}^{n} [/mm] (n-i+1) * (n-i+1)
Erklärung:
Die Summe bzw. i durchläuft alle Quadratgrößen. Für jedes i ist (n - i - 1) die Anzahl der Positionen an der das Quadrat hinsichtlich einer Dimension stehen kann . Da jede x Position mit jeder y Position kobiniert werden kann, dann das Quadrat.
Für jedes erhöhte i steht eine Position weniger zu Verfügung, für i = 1 aber in jede Richtung n, daher das +1.
Wenn man die Summen (nach dem Ausmultimplizieren) aufspaltet und die Summenformel für die Quadradzaheln, sowie für den kleinen Gauß verwendet, kommt man
(zumidnest ich :) ) auf genau das:
[mm] \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n} i^2
[/mm]
Für n=3 (n=4 wie bei scmath) deckt sich das mit oben genannter Seite. Ich würde es aber auf jeden Fall nochmal kritisch prüfen :)
Grüße Mumrel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Mo 20.08.2007 | | Autor: | scmathe |
Hallo,
in einem Quadrat der Seitenlänge s*s ergibt sich die Anzahl der gesamten Quadrate q zu:
q= [mm] s^2 [/mm] + [mm] (s-1)^2 [/mm] + [mm] (s-2)^2+ [/mm] ... [mm] +(s-(s-1))^2
[/mm]
Diese Formel habe ich selbst entwickelt, aber ich denke, sie ist richtig. Entwickelt habe ich sie nach folgendem Schema:
s:=Seitenlänge-Einheiten
e:=Einheitsquadrate (s=1)
z:=Zweierquadrate (s=2)
d:=Dreierquadrate (s=3)
usw.
1. s=1 => q=1
2. s=2 => q= 4e+1z=5
3. s=3 => q= 9e+4z+1d=14
4. s=4 => q = 16e+9z+4d+1v=30
usw.
Daraus folgt obige Formel. Habe sie aber nicht bewiesen! Ist nur eine Herleitung aus der Aufgabe. Habe damit aber korrekt die Lösung zu einem 7*7 Quadrat berechnet!
Viele Grüße
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Leypold |
Hallo,
ich möchte allen danken, dir mir bei der Lösung geholfen haben.
Das Ergebnis ist: 1.240 Quadrate und 14.400 Rechtecke.
Das wurde mir als Richtig bestätigt.
Gruß Helmut (Leypold)
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