Quadratische Form diagonalis. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo, wie kann man quadratische Formen durch quadratische Ergänzung diagonalisieren, etwa
[mm] $y(x,x)=x_1^2+2x_2 x_2+5x_2^2, x\n\mathbb{R}^2$? [/mm] |
Und was heißt es eigentlich, eine quadratische Form zu diagonalisieren?
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Hallo sick_of_math,
> Hallo, wie kann man quadratische Formen durch quadratische
> Ergänzung diagonalisieren, etwa
>
> [mm]y(x,x)=x_1^2+2x_2 x_2+5x_2^2, x\n\mathbb{R}^2[/mm]?
> Und was
> heißt es eigentlich, eine quadratische Form zu
> diagonalisieren?
Durch geschickte Transformationen, wie hier die quadratische Ergänzung, kannst Du erreichen, daß
die quadratiche Form als Summe bzw. Differenz
von Quadraten geschrieben werden kann. Das
wiederum über die Form des Kegelschnitts macht.
Gruss
MathePower
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Okay, aber wie führt man das konkret aus, also wie erreiche ich durch quadratische Ergänzung eine Transformation?
Mir ist das leider nicht klar.
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Hallo sick_of_math,
> Okay, aber wie führt man das konkret aus, also wie
> erreiche ich durch quadratische Ergänzung eine
> Transformation?
>
> Mir ist das leider nicht klar.
>
[mm]y\left(x,x\right)=x_{1}^{2}+2*x_{1}*x_{2}+5*x_{2}^{2}[/mm]
Angenommen, man beginnt mit [mm]x_{1}[/mm].
Dann will man in der Regel die gemischtquadratischen Glieder durch eine Transformation loswerden. Dazu
schreibt man obigen Ausdruck wie folgt um:
[mm]y\left(x,x\right)=x_{1}^{2}+2*x_{1}*x_{2}+5*x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-x_{2}^{2}+5*x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+4*x_{2}^{2}[/mm]
Die erste Transformation lautet demnach
[mm]x_{1}'=x_{1}+x_{2}[/mm]
[mm]x_{2}'=x_{2}[/mm]
Somit lautet die Form nach dieser Transformation:
[mm]x_{1}'^{2}+4*x_{2}'^{2}[/mm]
Führt man jetzt noch eine weitere Transformation durch:
[mm]\tilde{x}_{1}=x_{1}'[/mm]
[mm]\tilde{x}_{2}=2*x_{2}'[/mm]
Dann steht da:
[mm]\tilde{x}_{1}^{2}+\tilde{x}_{2}^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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Danke, das hat mir geholfen!
Darf ich noch eine weitere quadratische Form fragen?
[mm] $y(x,x)=x_1^2+2x_1 x_2 [/mm] - 2 [mm] x_1 x_3+2x_2^2+6x_3^2$
[/mm]
Ich habe das so versucht:
[mm] $y(x,x)=(x_1+x_2)^2+x_2^2+(x_1-x_3)^2-x_1^2+5x_3^2$,
[/mm]
weiß aber nicht, ob das stimmt bzw. weiter hilft.
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Hallo sick_of_math,
> Danke, das hat mir geholfen!
>
> Darf ich noch eine weitere quadratische Form fragen?
>
> [mm]y(x,x)=x_1^2+2x_1 x_2 - 2 x_1 x_3+2x_2^2+6x_3^2[/mm]
>
>
> Ich habe das so versucht:
>
> [mm]y(x,x)=(x_1+x_2)^2+x_2^2+(x_1-x_3)^2-x_1^2+5x_3^2[/mm],
>
> weiß aber nicht, ob das stimmt bzw. weiter hilft.
>
Als erstes ist der Ausdruck so zu schreiben:
[mm]y(x,x)=x_1^2+2x_1 x_2 - 2 x_1 x_3+2x_2^2+6x_3^2[/mm]
[mm]=\left(x_{1}+a*x_{2}+b*x_{3}\right)^{2}-a^{2}*x_{2}^{2}-2*a*b*x_{2}*x_{3}-b^{2}*x_{3}^{2}+2x_2^2+6x_3^2[/mm]
Gruss
MathePower
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Ähm... wieso das? Wie kommt man da denn drauf?
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Hallo sick_of_math,
> Ähm... wieso das? Wie kommt man da denn drauf?
Zuerst will man doch die gemischtquadratischen Glieder [mm]x_{1}*x_{2}, \ x_{1}*x_{3}[/mm] loswerden. Das wir hier erreicht durch eine erste Transformation der Bauart
[mm]x_{1}'=x_{1}+a*x_{2}+b*x_{3}[/mm]
[mm]x_{2}'=x_{2}[/mm]
[mm]x_{3}'=x_{3}[/mm]
Gruss
MathePower
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Also ich komme, wenn ich nach [mm] $x_1$ [/mm] quadratisch ergänze und ansonsten [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] als Paramater handhabe auf:
[mm] $(x_1+x_2-x_3)^2-x_2^2+2x_2 x_3-x_3^2+2x_2^2+6x_3^2$
[/mm]
Jetzt nach [mm] $x_2$ [/mm] quadratisch ergänzen? Dann nach [mm] $x_3$?
[/mm]
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Hallo sick_of_math,
> Also ich komme, wenn ich nach [mm]x_1[/mm] quadratisch ergänze und
> ansonsten [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] als Paramater handhabe auf:
>
> [mm](x_1+x_2-x_3)^2-x_2^2+2x_2 x_3-x_3^2+2x_2^2+6x_3^2[/mm]
>
> Jetzt nach [mm]x_2[/mm] quadratisch ergänzen? Dann nach [mm]x_3[/mm]?
Ja,
Gruss
MathePower
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Nachdem ich auch nach [mm] $x_2$ [/mm] quadratisch ergänzt habe, stehe ich bei
[mm] (x_1+x_2-x_3)^2+(x_2+x_3)^2+4x_3^2+2x_2 x_3$
[/mm]
Das würd ich jetzt nach [mm] $x_3$ [/mm] quadratisch ergänzen, aber da stört mich der Faktor 4...
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Hallo sick_of_math,
> Nachdem ich auch nach [mm]x_2[/mm] quadratisch ergänzt habe, stehe
> ich bei
>
>
> [mm](x_1+x_2-x_3)^2+(x_2+x_3)^2+4x_3^2+2x_2 x_3$[/mm]
>
Hier hast Du nur noch stehen:
[mm](x_1+x_2-x_3)^2+(x_2+x_3)^2+4x_3^2[/mm]
> Das würd ich jetzt nach [mm]x_3[/mm] quadratisch ergänzen, aber da
> stört mich der Faktor 4...
[mm]x_3^{2}[/mm] brauchst Du nicht quadratsich zu ergänzen, siondern nur normieren, d.h. vor dem Quadrat
steht dann der Faktor 1.
Gruss
MathePower
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Normieren?
Also ich habe dann als Transformation
[mm] $\eta_1=x_1+x_2-x_3$
[/mm]
[mm] $\eta_2=x_2+x_3$
[/mm]
[mm] $\eta_3=2x_3$
[/mm]
So?
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Hallo sick_of_math,
> Normieren?
>
> Also ich habe dann als Transformation
>
> [mm]\eta_1=x_1+x_2-x_3[/mm]
>
> [mm]\eta_2=x_2+x_3[/mm]
>
> [mm]\eta_3=2x_3[/mm]
>
> So?
Ja.
Gruss
MathePower
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Hey, danke!
Total viel gelernt. :D
Jetzt bin ich endlich fertig.
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