Quadratische Funktionen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 So 10.12.2006 | | Autor: | LaraBln |
| Aufgabe | a) Die Zahl 100 soll so in zwei positive Summanden x und y zerlegt werden, sodass die Summe der Quadrate dieser Summanden möglichst klein wird.
b) Aus 50 m Draht soll ein rechteckiges, einmal unterteiltes Gatter mit maximaler Fläche abgesteckt werden |
Hallo ihr Lieben
ich brauch gaanz ganz dringend eure Hilfe, da meine Lehrerin angekündigt hat , diese HA am Dienstag einzusammeln.....und sie hat mich dabei ziemlich direkt angeschaut......
im moment komme ich gar nicht mit in Mathe, und Nachhilfe kriege ich erst ab ende der Woche... deshalb kann ich nicht einmal einen Anfang starten! ;-(
ich hoffe ihr könnt mir helfen!!! Als überschrift in meinem Buch steht : "Extremalprobleme"
liebe grüße Lara
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Hallo.
Beides sind Extremwertaufgaben:
zur 1.
suche Zielfunktion f(x), dazu überlege wie große die Sumanden sind:
der eine beliebig und der andere 100 minus ...
davon jetzt das Quadrat:
[mm] f(x)=x^{2}+(100-x)^{2}
[/mm]
jetzt ableiten
f'(x)=4x-200
f''(x)=4 --> immer Minimum
f'(x)=0
0=4x-200
also bei x=50
--> beide zahlen 50
zur 2.
analog:
suche zielfunktion:
eine seite x andere (50-2x)/2
[mm] f(x)=x*(25-x)=25x-x^2
[/mm]
usw.
Denke du bekomsmt das hin (ableiten ...)
(es wird eine quadratische Fläche a=b=12,5m rauskommen)
Tschüß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 So 10.12.2006 | | Autor: | LaraBln |
Hmm... ich hab da noch eine Frage...
denn wir hatten eine Bsp. Aufgabe im Buch....
Ein Goldgräber möchte mit einem 60 m langen Seil einen rechteckigen Claim abstecken. Eine Seite wird von einem Fluss begrenz. Ermitteln Sie die Abmessungen x und y so, dass die abgesteckte Fläche maximalen Inhalt besitzt...
Der Lösungsansatz sieht so aus
A=x*y
60=y+2x
A= x*(60-2x)
A(x)= [mm] -2x^{2}+60x
[/mm]
Nun wird das Maximum bestimmt:
A(x)= [mm] -2*(x^{2}-30x)
[/mm]
A(X)=-2* [mm] (x-15)^2 [/mm] +450
Scheitelpunkt S (15 und 450)
Denn unsere Lehrerin meint (leider) immer, dass wir alle Zwischenschritte genau so aufschreiben müssen und nichts einfach weglassen sollen.....
vielleicht hilfst du mir noch mal?!?
vielen dank nochmal!!!!!!!!!!!
Lara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 So 10.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lara!
Das sieht doch schon mal sehr gut aus. Und Zwischenschritte sind auch (fast) ausreichend vorhanden.
Ich würde bei der quadratischen Ergänzung noch eine Zeile einfügen:
> Nun wird das Maximum bestimmt:
> A(x)= [mm]-2*(x^{2}-30x)[/mm]
$A(x) \ = \ [mm] -2*(x^2-30x [/mm] \ [mm] \red{+15^2-15^2})$
[/mm]
$A(x) \ = \ [mm] -2*(x^2-30x +15^2) [/mm] + (-2)*(-225)$
> A(X)=-2* [mm](x-15)^2[/mm] +450
>
> Scheitelpunkt S (15 und 450)
Und wie lautet nun die maximale Fläche bzw. auch die zugehörige 2. Abmessung des Claims?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 So 10.12.2006 | | Autor: | LaraBln |
Naja...
für x= 15m und y = 30m und dann ist der Inhalt folglich 450 [mm] m^2
[/mm]
doch genau so wie in diesem Bsp. muss ich die Aufgaben mit der zahl 100 die zerlegt werden muss und dem 50m Draht machen.... doch ich verstehe nicht wie ich anfangen soll. denn dieses Ableiten hatten wir gar nicht... wir sollten diese Methode wie bei diesem Abstecken des Claims nutzen.... das heist Darstellung als Funkton und Bestimmung des Maximus.....
:-(
Vielen dank!!!
Lara
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Mo 11.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) was weiss ich? 100 soll in 2 Zahlen zerlegt werden , ich nenn ie x und y.
also 100=x+y oder y=100-x
[mm] x^2+y^2=z [/mm] soll moglichst klein werden : [mm] x^2+y^2=x^2+(100-x)^2
[/mm]
[mm] x^2+100^2-200x +100^2=z [/mm] oder=f(x)
jetzt 2 ausklammern:
[mm] z=2*(x^2-100x +50^2-50^2)+100^2
[/mm]
[mm] Z=2*(x-50)^2 [/mm] - [mm] 2*50^2+100^2
[/mm]
jetzt hat man den Scheitel bei x=50, da ist z am kleinsten
Die Antwort, die 2 zahlen sind 50 und 50.
b) Das Rechteck hat die Seiten x, y. Wegen der unterteilung (aufzeichnen) muss der Draht für 2*x+3*y reichen also:
2x+3y=50 oder y=(50-2x)/3
Die Fläche ist F=x*y=x*(50-2x)/3
[mm] F=50/3x-2/3x^2. [/mm] -2/3 ausklammern :
[mm] F=-2/3(x^2-25x+(25/2)^2-(25/2)^2)
[/mm]
[mm] F=-2/3(x-25/2)^2 [/mm] -2/3*25/2
die Parabel ist nach unten geöffnet, der Scheitel ist der höchst Punkt, also muss die eine Seite 12,5 m lang sein, die andere dann (50-25)/3
Ich hoff jetzt kannst du die nächste Aufgabe die kommt selbst.
Sei so lieb, lies dir das durch, dann leg es weg, und machs noch mal ohne nachzusehen allein! Sonst lernst dus nicht.
Gruss leduart
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