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Meine Aufgabe ist folgende:Es gibt die Quadratpflanze.Zu Beginn besteht sie aus einem Quadrat mit der Seitenlänge 1. Täglich kommen 3 neue Quadrate hinzu,deren Seitenlänge nur noch ein Drittel der Quadrate der vorangehenden Generation ist.
1.Man soll die Flächeninhalte berechnen.Da hab ich raus:
für A0=1
A1=4/3
A2=13/9
A3=40/27
A4=121/81
A5=364/243
Stimmt das?Jetzt soll ich An herleiten und weiss nicht wie.Und wächst die Fläche unbegrenzt?Warum oder warum nicht?Ich wär sehr dankbar,wenn ihr mir helfen könntet.
2.Jetzt soll man den Umfang der PFlanze berechen.Betrachtet man dann bei jedem quadrat 2 oder 3 Seitenlängen?
Ich meine der Umfang des ersten Quadrates beträgt 4.Meine Freundin aber meint man soll man soll mit der Formel 3+2n rechnen,dann wäre der Flächeninhalt beim ersten Quadrat 3.
Wie geht das jetzt richtig?Kann jemand bitte mal für die ersten 3 Tage das vorrechnen?Stimmt die Formel für den Umfang?Wächst der Umfang unbegrenzt?
Ich wäre eich sehr dankbar für eure Hilfe.Ich habe es allein probiert und mich dann mit meiner Freundin beraten.Aber ich komm nicht weiter.
Danke und liebe Grüße
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:03 Sa 30.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
hier handelt es sich um eine geometrische Reihe. Das sieht man allerdings erst wenn man mal ein paar Zeilen aufgeschrieben hat und mal ein paar Flächeninhalte aufschreibt, also wie sie sich eigentlich zusammensetzen.
Fangen wir mal an.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Sa 30.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
sorry wegen dem Chaos von nicht beantworteten Fragen usw. aber bei mir funktioniert der Formeleditor nicht, deshalb habe ich immer wieder neu geladen. Ich probier es also ohne Formeleditor.
Nun zur Aufgabe.
Es handelt sich hier um eine geometrische Reihe, allerdings sieht man das erst, wenn man mal ein bisschen gerechnet hat und den Fall dann verallgemeinert.
[mm] A_{n} [/mm] = Die Fläche der gesamten Rechtecke am Tag n
[mm] a_{n} [/mm] = Seitenlänge der entsprechenden Rechtecke am Tag n
[mm] A_{1}=1
[/mm]
[mm] A_{2}=A_{1}+3*(\bruch{1}{3}a_{1})^2
[/mm]
[mm] A_{3}=A_{2}+3*(\bruch{1}{3}a_{2})^2
[/mm]
So könnte man das jetzt weiterführen. Was du vorher gerechnet hast hat auch gestimmt. Aber wir brauchen ja den allgemeinen Fall. Außerdem wollen wir ja wissen, ob die Fläche gegen einen Grenzwert konvergiert und gegebenenfalls wie groß dieser ist.
Nun machen wir das ganze rückwärts.
[mm] A_{3}=A_{2}+3*(\bruch{1}{3}a_{2})^2
[/mm]
[mm] =A_{1}+3*(\bruch{1}{3}a_{1})^2+3*(\bruch{1}{3}a_{2})^2
[/mm]
[mm] =1+3*(\bruch{1}{3}a_{1})^2+3*(\bruch{1}{3}a_{2})^2
[/mm]
[mm] =1+3*\bruch{1}{9}a_{1}^2+3*\bruch{1}{9}a_{2}^2
[/mm]
[mm] =1+\bruch{1}{3}a_{1}^2+\bruch{1}{3}a_{2}^2
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}(a_{1}^2+a_{2}^2)+1
[/mm]
So würde das nun weitergehen. Also schreiben wir für [mm] A_{n}:
[/mm]
[mm] A_{n}=\bruch{1}{3}(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{n-1}^2)+1
[/mm]
Nun kann man den mittleren Teil, also die Summe über ein Summenzeichen zusammenfassen.
Also:
[mm] A_{n}=\bruch{1}{3}*\sum_{v=1}^{n-1}a_{v}^2+1
[/mm]
So weit so gut. Nun kann man aber das a, also die Seitenlänge eines Quadrates auch noch auf eine andere Art und Weise darstellen, so das man es immer in Abhängigkeit von [mm] a_{1}=1 [/mm] hat. Dies erleichtert einem einiges. Dazu muss man auch bemerken, dass jede nachfolgende Seite eines Quadrates nur noch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] der Länge des Vorgängers ist.
Also machen wir weiter:
[mm] a_{1}=1, a_{2}=\bruch{1}{3}*a_{1}, a_{3}=\bruch{1}{3}*(\bruch{1}{3}*a_{1})=(\bruch{1}{3})^2*a_{1}=(\bruch{1}{3})^2 [/mm] (da ja [mm] a_{1} [/mm] immer 1 ist, kann man es auch weglassen)
Somit hat man für [mm] a_{v}=(\bruch{1}{3})^{v-1}
[/mm]
Das setzt man nun oben in die Summe für [mm] a_{v} [/mm] hinter das Summenzeichen ein.
Dann sieht das folgendermaßen aus.
[mm] A_{v}=\bruch{1}{3}*\sum_{v=1}^{n-1}((\bruch{1}{3})^{v-1})^2+1
[/mm]
Nun muss man wissen, dass dies einer geometrischen Reihe schon sehr ähnlich sieht, und wenn man es schafft den Term nun noch so zu modifizieren, dass es am Ende eine geometrische Reihe ist, dann kann man auch den Grenzwert berechnen, denn dafür gibt es eine Formel die dann nur noch von in diesem Fall hier der Konstanten [mm] \bruch{1}{3} [/mm] abhängt. Wenn man das aber nicht schon weiß, wird man nie draufkommen. Das ist nunmal so, außer man hat es voll drauf und weiß es nur noch nicht!!!
Nun weiter:
Als nächstes vertauscht man erst mal die beiden Hochzahlen, denn das darf man ja machen und hat dann:
[mm] A_{v}=\bruch{1}{3}*\sum_{v=1}^{n-1}((\bruch{1}{3})^2)^{v-1}+1
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*\sum_{v=1}^{n-1}(\bruch{1}{9})^{v-1}+1
[/mm]
Um nun die geometrische Reihe zu bekommen muss man das -1 im Exponenten wegbekommen, also hinter der Summenformel.
Dazu muss man +1 im Exponenten addieren, die man dann in dem Summenindex oben und unten wieder abziehen muss. Also hat man:
[mm] =\bruch{1}{3}*\sum_{v=0}^{n-2}(\bruch{1}{9})^v+1
[/mm]
Nun ist man fast fertig. Zumindest mit der Herleitung einer Formel für den gesamten Flächeninhalt aller Quadrate von 1 bis n. Wenn man nun noch wissen möchte ob es gegen einen Grenzwert läuft, muss man wissen das es einen weiteren Satz gibt für diese Art von Summe. Diese Summe läuft nämlich gegen den Grenzwert [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] für n gegen [mm] \infty, [/mm] wobei das [mm] q=\bruch{1}{9} [/mm] ist. Allerdings gilt das nur für die Summe. Ingesamt sieht es dann so aus wenn n gegen [mm] \infty [/mm] strebt:
[mm] A_{v}=\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-q}+1=1,375
[/mm]
wenn man für [mm] q=\bruch{1}{9} [/mm] setzt.
Das bedeutet, die Fläche zusammengenommen aller Quadrate läuft mit zunehmender Anzahl von Quadraten und den damit verbundenen immer kleiner werdenden Seitenlängen gegen einen Gesamtflächeninhalt von 1,375. Erreicht werden wird er allerdings nie!!!
Ich weiß es ist nicht so ganz einfach aber man braucht wie zu allem anderen einfach ein bisschen Übung. Probier es doch mal mit dem Umfang aus. Vielleicht kriegst du es ja selbst hin.
Gruß,
clwoe
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Danke für deine Hilfe,clwoe,aber wir hatten Summenzeichnen noch nicht im Unterricht.somit kann ich deine antwort leider nicht nachvollziehen.Die Aufgabe mit der Quadratpflanze war die erste,die wir zum Thema Folgen bekommen haben.Ich hab jetzt noch mal mit meiner Freundin geredet und die meint es ergebe sich folgendes:
Als Rekursionsformel ergibt sich:
An+1 = An + 1/3*(An - An-1)
An+1 = 4/3*An - 1/3*An-1
Damit: A4 = 121/81; A5 = 364/243
Es wird deutlich, dass der
Nenner von An = 3n
ist. Für den Zähler gilt:
Zähler von An = (((1*3 + 1)*3 * 1)*3 * 1)...
Zähler von An = 3n + 3n-1 + 3n-2 + ... + 1
Zähler von An = (3n+1 - 1)/2
Damit gilt:
An = (3n+1 - 1)/(2*3n).Stimmt das?
Ich kann das aber nicht nachvollziehen und weiss nicht wie sie da drauf kommt.
Für den Umfang bekommt sie:
3+2n Stimmt das?
Wo kommt das her?Ich wär echt sehr dankbar,wenn mir jemand damit helfen könnte und auch erklären könnte,wie man da drauf kommt.Ich mach jetzt seit Freitag an der Aufgabe rum und verstehe es nciht.
Meine Freundin blickt zwar meistens alles,kann aber leider nicht erklären.
Liebe Grüße und danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 So 01.10.2006 | | Autor: | ronnz |
Hallo Mathe_LK_Girl,
wenn du dir die Abstände der Zahlen zu A0 anschaust, wird dir auffallen, dass sie [mm] (3^n-1)*0,5 [/mm] / [mm] 3^n [/mm] betragen. (hoffe ich)
wenn wir diese Form etwas vereinfachen, steht da 0,5 - 1 / [mm] 3^n
[/mm]
und nun das ganze zu A0 hinzuaddieren und schon sind alle mit der Formel An=1,5-( 1 / [mm] 3^n) [/mm] zufrieden ;)
entschuldige die Form, ich muss mich noch in den Formeleditor reinfitzen...
mfg Ronnz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 So 01.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ihr habt zwar Folgen noch nicht besprochen, aber ich wüsste nicht wie man es anders machen sollte, als in meiner Lösung. Vielleicht gibt es ja noch eine Andere, aber ich weiß nicht wie sonst.
Zu deiner Lösung.
Ich kann den ersten Teil nicht nachvollziehen, nämlich das hier:
[mm] A_{n+1}=A_{n}+\bruch{1}{3}(A_{n}-A_{n-1})
[/mm]
Ich glaube auch, denn ich habe mal nachgerechnet, dass eure Ergebnisse für den Flächeninhalt z.B. für [mm] A_{3}=1,44 [/mm] oder für [mm] A_{4}=1,49 [/mm] nicht stimmen, die müssten kleiner sein. Außerdem würde eure Gesamtfläche gegen unendlich streben und das glaube ich nicht, denn die Seitenlängen der immer weiter dazukommenden Quadrate streben gegen 0, denn sie betragen ja immer nur noch [mm] \bruch{1}{3} [/mm] des vorhergehenden und somit muss auch die Fläche der dazukommenden n-ten Quadrate mehr und mehr gegen 0 gehen, das heißt es kann gar nicht gegen unendlich streben sondern muss gegen einen Grenzwert laufen, was bei eurer Formel nicht geschieht. Und wenn ich z.B. den Flächeninhalt des 1. Quadrates haben will, das ja den Flächeninhalt 1 hat, komme ich mit eurer Formel und euren Indizes für die jeweiligen A´s ja gar nicht zu [mm] A_{1}, [/mm] denn dann muss man ja bei eurer Formel für n=0 setzen und wenn man es dann in die hinteren Indizes einsetzt, bekommt man ja einen Flächeninhalt zu [mm] A_{0} [/mm] und [mm] A_{-1} [/mm] und die gibt es ja gar nicht. Wenn man also für diese nicht vorhandenen Flächeninhalte dann 0 setzen würde, würde für das 1. Quadrat auch nicht als Flächeninhalt 1 rauskommen, sondern 0, denn keine der hinteren Flächeninhalte ist ja definiert! Also ich glaube nicht, dass man es so machen kann, wie du hier geschrieben hast.
Auch die Umfangsformel kann nicht stimmen, denn das 1. Quadrat hat doch den Umfang 4=4*1. Ich weiss auch nicht genau, für was bei euch die n´s stehen sollen? Das ist doch ein Index, aber bei euch tauchen sie nicht als Index auf sondern als Variable und das verstehe ich nicht!
Sorry, aber ich glaube nicht das das stimmt!
Gruß,
clwoe
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Hallo,
danke für eure Bemühungen.Ich hoffe,ich hab die aufgabe jetzt richtig gelöst.
Ich hab jetzt raus für:
[mm] An+1=An+3*(1/3^n)^2 [/mm] und der Grenzwert ist 1,5
und für
Un=(Un-1)+2 oder anders geschrieben Un=4+2n ud der Umfang wächst ungebrenzt.
Stimmt das alles?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 So 01.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
das stimmt nicht. Die Formel für die Fläche einer beliebigen Anzahl von Quadraten mit der Bedingung, die du gesagt hast lautet:
[mm] A_{n}=\bruch{1}{3}*\summe_{i=0}^{n-2}(\bruch{1}{9})^v+1
[/mm]
Diese geometrische Reihe läuft gegen den Grenzwert 1,375. Wie man ihn berechnet habe ich vorher schon mal gesagt.
Für diese geometrische Reihe gibt es auch eine Formel, um die Summe für ein beliebiges n zu berechnen.
Diese Formel lautet nur für die Summe:
[mm] \summe_{i=0}^{n}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Nun muss man diese Formel noch an die obige Summe anpassen und noch den Rest der für die Formel wichtig ist mit anhängen. q ist in diesem Beispiel hier [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{3}*\summe_{i=0}^{n-2}(\bruch{1}{9})^v+1=\bruch{1}{3}*\bruch{1-q^{n-1}}{1-q}+1
[/mm]
Also lautet die Formel für den Flächeninhalt von n Quadraten:
[mm] A_{n}=3*\bruch{1-(\bruch{1}{9})^{n-1}}{8}+1
[/mm]
Dieser Term ist natürlich schon soweit umgeformt wie möglich.
Nun setz mal als Probe für n=1 oder n=2 usw. ein. Du wirst sehen, du kommst immer auf die auch schon von dir ausgerechneten Ergebnisse.
Wie schon gesagt, für den Umfang muss man es sich genauso herleiten.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:04 Mo 02.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
deine Formel für die Fläche stimmt, aber das Problem daran ist, das du die Fläche nicht direkt ausrechnen kannst, für ein z.B. n=10 oder n=20. Du brauchst nämlich nimmer zuerst den Flächeninhalt des vorhergehenden n´s und das musst du mühsam mit der Hand ausrechnen!
Wollte ich nur noch anmerken! Aber trotzdem Respekt vor deiner Hartnäckigkeit an der Aufgabe dran zu bleiben!
Gruß,
clwoe
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Danke für deine Hilfe.Du hast mit sehr geholfen.Ich habe noch eine Frage.Wie hast du denn Term umgeformt?Könntest du mir die einzelnen Schritte bitte aufschreiben?Ich kann das nämlich nicht ganz nachvollziehen,wie du vorgegangen bist.
Und ich hab noch mal eine Frage,wenn ich in:
$ [mm] A_{n}=3\cdot{}\bruch{1-(\bruch{1}{9})^{n-1}}{8}+1 [/mm] $
n=2 einsetzte bekomme ich:4/3,was aber die Antwort von [mm] A_{n=2} [/mm] ist.wi ekommt das?Oder soll es heißen:$ [mm] A_{n}=3\cdot{}\bruch{1-(\bruch{1}{9})^{n}}{8}+1 [/mm] $,weil dann käme die passende Antwort heraus.Kannst du mir sagen,was jetzt richtig ist und wie es zu Stande kommt.
Ich hoffe,du verstehst was ich meine.Vielen Dank für deine Mühen.
Ich glaube auch,die Flächeninhalte,die ich im ersten Beitrag genannt habe sind falsch,ich glaube diese sind richtig:
[mm] A_{0}=1
[/mm]
[mm] A_{1}=4/3
[/mm]
[mm] A_{2}=37/27
[/mm]
[mm] A_{3}=334/243
[/mm]
[mm] A_{4}=3007/2187
[/mm]
[mm] A_{5}=1,374993649
[/mm]
Könntet ihr mich bitte aufklären,was stimmt und wo das herkommt.Danke und liebe Grüße.Da ich jetzt so lange mit dieser Aufgabe beschäftigt bin,wurde mein Ergeiz so richtig gewckt und ich will das mit eurer Hilfe unbedingt rausbekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 02.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo girrl
Noch mal von Anfang an:
[mm] A_{0}=1
[/mm]
[mm] $A_{1}=1+3*(1/3)^2$
[/mm]
[mm] $A_2=1+3*(1/9)+3*(1/3*1/9)^2=1+3*(1/9+(1/9)^2$
[/mm]
.....
[mm] $A_n=1+3*((1/9)+(1/9)^2+(1/9)^3+.....(1/9)^n)$
[/mm]
ab jetzt lass ich den Anfang weg und behandle nur noch die Klammer*3
[mm] $a_n=3*((1/9)+(1/9)^2+(1/9)^3+.....(1/9)^n)=3/9*(1+1/9+(1/9)^2+...(1/9)^{n-1})$
[/mm]
so, ab jetzt q=1/9 und nur die Klammer!
[mm] $b_n=1+q+q^2+q^3+....+q^{n-1}$
[/mm]
Jetzt kommt ein TRICK wie man das ausrechnet:
bilde [mm] $q*b_{n}=q+q^2+q^3+.......q^{n-1}+q^n$
[/mm]
die stimmen bis auf das erste und letzte Glied überein.
deshalb bild ich [mm] $b_n-q*b_n=1-q^n$
[/mm]
daraus [mm] $b_n*(1-q)=1-q^n$
[/mm]
und damit [mm] $b_n=\bruch{1-q^n}{1-q}$
[/mm]
So jetzt setz 1/9 für q ein, und [mm] $A_n=1+1/3*b_n$ [/mm] und du bist fertig.
Für grosse n wird [mm] (1/9^{n} [/mm] beliebig klein, deshalb kannst dus im Grenzwert weglassen.
Für den Umfang gehst du ganz ähnlich vor! Zwischenergebnisse nicht ausrechnen, sondern den Rechenvorgang stehen lassen:
U0=4 U1=4+(1/3*4)*3 U2= 4+(1/3*4)*3+(1/3*4/3)*3=4*(1+1+1/3)
U3=4*(1+1+1/3+1/9) wie gehts weiter?
Gruss leduart
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Ich möchte mich bei euch allen ganz herzlich für eure Hilfe bedanken.Ich habe es nun verstanden.Echt toll,wie ihr mir geholfen habt.Liebe Grüße
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