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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:02 Di 08.02.2011 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Für eine hinreichend glatte Funktion f:[0,h] [mm] \to \IR [/mm] (h>9) und [mm] \alpha \in [/mm] (-1,0) sei das Integral
[mm] \integral_{0}^{h}{x^\alpha f(x) dx}
[/mm]
zu berechnen.
1. Kann durch lineare Interpolation des Integranden eine Quadraturformel entwickelt werden ?
2. Entwickeln Sie eine Quadraturformel durch lineare Interpolation von f zwischen den Intervallgrenzen und schätzen Sie den Quadrturfehler ab. |
hi zusammen,
hier mal meine Lösungsidee
zu 1.
da weiß ich leider nicht was ich genau schreiben soll, ich denke halt wenn die Funktion stetig ist, sollte es gehen.
zu 2.
da habe ich nun erstmal f(x) durch eine lineare Funktion dargestellt mit den grenzen 0 und h und erhalte
f(x) = [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] *(x-h) + f(0)
dies setze ich nun für mein f(x) ein und erhalte
[mm] \integral_{0}^{h}{[\bruch{f(h)-f(0)}{h} *(x-h) + f(0)]x^\alpha dx}
[/mm]
nun hab ich das Integral aufgestückelt
[mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{h} x^{\alpha + 1} [/mm] dx - [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{h} x^{\alpha} [/mm] dx + f(0) * [mm] \integral_{0}^{h} x^{\alpha}dx
[/mm]
nun habe ich die Integrale gelöst und hab folgendes herausbekommen
[mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] * [mm] \bruch{h^{\alpha+2}}{\alpha +2} [/mm] - [mm] \bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] * [mm] \bruch{h^{\alpha+1}}{\alpha +1} [/mm] + f(0)* [mm] \bruch{h^{\alpha+1}}{\alpha +1}
[/mm]
nun habe ich das h rausgekürzt wo es halt ging und hab dann folgendes bekommen
[mm] [f(h)-f(0)]*[\bruch{h^{\alpha+1}}{\alpha +2}] [/mm] - [mm] [f(h)-f(0)]*[\bruch{h^{\alpha}}{\alpha +1}] [/mm] + f(0)* [mm] \bruch{h^{\alpha+1}}{\alpha +1}
[/mm]
nun habe ich das ganze umgewurstelt, so dass ich f(h) und f(0) ausgeklammert habe und dann somit mein ergebnis erhalten
f(h) * [mm] [\bruch{h^{\alpha+1}}{\alpha +2} [/mm] - [mm] \bruch{h^{\alpha}}{\alpha +1}] [/mm] - [mm] f(0)*[\bruch{h^{\alpha+1}}{\alpha +2}+ \bruch{h^{\alpha}}{\alpha +1}-\bruch{h^{\alpha+1}}{\alpha +1}]
[/mm]
nun noch die erste klammer = A(h) gesetzt und die 2te klammer = B(h) gesetzt und dann
I=f(h)*A(h)-f(0)*B(h) erhalten.
stimmt das wie ich es gemacht habe ? hilfe ist wie immer sehr willkommen :)
lg
meep
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 10.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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