Quadratwurzel aus i < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 So 30.10.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebes Forum!
Ich frage mich, wie man [mm]\sqrt{i}[/mm] händisch berechnen kann.
Daß das Ergebnis
[mm]\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot i[/mm]
ist, weiß ich, aber ich wüsste gerne, wie man es berechnet. |
Mein Ansatz wäre, i in Polarform hinzuschreiben:
[mm]i=e^{i\cdot \frac{\pi}{2}}[/mm]
Demnach ist dann
[mm]\sqrt{i}=i^{\frac{1}{2}}=\left(e^{i\cdot \frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=e^{i\cdot\frac{\pi}{4}}[/mm]
An dieser Stelle stecke ich nun fest.
Wer kann mir bitte weiterhelfen?
LG & einen schönen Sonntag
mikexx
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Hallo,
mit [mm] $re^{i\phi}= r(cos(\phi)+ [/mm] i sin [mm] (\phi)) [/mm] $
folgt direkt das Ergebnis. Es gibt auch noch eine zweite Wurzel.
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 So 30.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Achso, die Euler-Formel!
[mm]e^{i\cdot \frac{\pi}{4}}=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)[/mm]
Was meinst Du mit: Es gibt auch noch eine zweite Wurzel?
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Hallo,
$ [mm] \sqrt{i}=i^{\frac{1}{2}}=\left(e^{i\cdot \frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=e^{i\cdot\frac{\pi}{4}} [/mm] $
diese Gleichungskette stimmt nicht, denn: [mm] $\sqrt{i} \Rightarrow i_{1/2} [/mm] = [mm] \pm e^{i\cdot \frac{\pi}{4}} [/mm] $
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 So 30.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Mit anderen Worten:
Auch
[mm]-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]
ist eine Wurzel von i?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 So 30.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Mit anderen Worten:
>
> Auch
>
> [mm]-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}[/mm]
>
> ist eine Wurzel von i?
Quadriere diesen Term...
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 So 30.10.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, wenn ich das quadriere kommt i heraus.
Danke für die Hilfe.
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