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Hallo!
Ich habe eine Frage bezueglich Quadriken und den zugehoerigen
Matrizen. Wie bestimme ich die Matrix einer Quadrik, z.B. von
Q={ [mm] \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \in \IR^3| [/mm]
[mm] x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+2x_1x_3+2x_2x_3 +x_3^2+2x_1+2x_2+2x_3 [/mm] - 3 =0}?
Mit diesem Kapitel habe ich gerade erst angefangen und momentan
sehe ich noch ueberhaupt nicht klar.:-(
Danke fuer jede Hilfe....
Margarita
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Margarita!
Du kannst $Q$ in die folgende Form überführen:
[mm] $Q=\{x \in \IR^3\, : \, x^TCx + c^Tx + d =0\}$.
[/mm]
Hierbei stehen in der Matrix $C$
- auf der Diagonalen von $C$ die Koeffizienten vor den quadratischen Termen [mm] $x_i^2$
[/mm]
- in den übrigen Einträgen von $C$ das $1/2$-Fache der Koeffizienten vor den gemischten Termen [mm] $x_ix_j$
[/mm]
- in den Einträgen von $c$ die Koeffizienten vor den einfachen Termen [mm] $x_i$
[/mm]
- und unter $d$ werden alle konstanten Terme zusammengefasst.
Zu deinem Beispiel:
[mm]Q=\{ \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \in \IR^3
\, : \, x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+2x_1x_3+2x_2x_3 +x_3^2+2x_1+2x_2+2x_3 - 3 =0\}[/mm].
Hier setzen wir zunächst auf die Diagonale von $C$ alle Koeffizienten vor den quadratischen Termen:
[mm]Q=\{ \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \in \IR^3
\, : \, \red{1} \cdot x_1^2+2x_1x_2+\red{1} \cdot x_2^2+2x_1x_3+2x_2x_3 +\red{1} \cdot x_3^2+2x_1+2x_2+2x_3 - 3 =0\}[/mm].
$C = [mm] \begin{pmatrix} \red{1} & & \\ & \red{1} & \\ & & \red{1} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Nun setzen wir in den Eintrag $(i,j)$ (und auf Grund der Symmetrie auch in $(j,i)$) jeder Matrix das $1/2$-Fache des Koeffizienten von [mm] $x_ix_j$:
[/mm]
[mm]Q=\{ \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \in \IR^3
\, : \, x_1^2+\green{2}x_1x_2+ x_2^2+\green{2}x_1x_3+ \green{2}x_2x_3 + x_3^2+2x_1+2x_2+2x_3 - 3 =0\}[/mm].
$C = [mm] \begin{pmatrix} 1 & \green{1} & \green{1} \\ \green{1} & 1 & \green{1} \\ \green{1} & \green{1} & 1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
So, jetzt noch $c$:
[mm]Q=\{ \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \in \IR^3
\, : \, x_1^2+2x_1x_2+ x_2^2+2x_1x_32x_2x_3 + x_3^2+\blue{2}x_1+\blue{2}x_2+\blue{2}x_3 - 3 =0\}[/mm].
Also:
$c = [mm] \begin{pmatrix} \blue{2} \\ \blue{2} \\ \blue{2} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Fasst man nur noch den konstanten Term als $d$ auf, so folgt:
[mm] $Q=\{\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \IR^3\, : \, \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} -3 =0\}$.
[/mm]
Der folgende Link könnte sehr hilfreich für dich sein:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.tu-dresden.de/~vetters/u3-5-4-11.pdf
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Mi 30.06.2004 | | Autor: | margarita |
Hi Julius!
Danke fuer Deine Antwort...ist sehr sehr hilfreich
Jetzt sieht alles viel einfacher aus...
Ich werde mir das heute nochmal genau anschauen, eventuell
habe ich dann noch Fragen...
Liebe Gruesse, Margarita
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:33 Do 01.07.2004 | | Autor: | margarita |
Hi Julius,
ich habe gestern nochmal das Kapitel zu den Quadriken
in meinem Skript gelesen.
Es war ein Beispiel angegeben, und zwar folgendes:
Q= [mm] \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \IR |
x_1^2+x_2^2+6x_1x_2-2x_1+6=0 \right\}.
[/mm]
Zu bestimmen ist die Hauptachsenform zu Q.
Im ersten Schritt wird eine Matrix A' zu Q bestimmt,
mit [mm] A'=\begin{pmatrix}
6 & -1 & 0\\
-1 & 1 & 3\\
0 & 3 & 1\\
\end{pmatrix} [/mm]
und A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 3\\
3 & 1\\
\end{pmatrix}
[/mm]
(wobei A' glaube ich von der Form ist:
[mm] \begin{pmatrix}
a_0_0 & a_0_1 & \cdots & a_0_n \\
a_0_1 \\
\vdots & & A \\
a_0_n \\
\end{pmatrix} [/mm]
)
Ich verstehe ueberhaupt nicht, wie man zu dieser Matrix A' kommt.
Was sind diese [mm] a_0_i [/mm] ' s und wie bestimmt man sie? Wie bestimmt man die
Matrix A?
Alle weiteren Schritte verstehe ich, im einzelnen waren das...
Schritt 1: Bestimmung der Matrix A' zu Q
Schritt 2: Diagonalisierung von A.
Schritt 3: Berechnung von P' T AP'
Schritt 4: Verschiebung des Nullpunktes
Schritt 5: Finale
Und nun zu dem Beispiel, das ich letztes Mal gepostet habe:
was war dort verlangt? Die Antwort, die Du mir geschickt hast,
(und die ich verstehe) oder die Matrix wie oben?
Ich glaube meine Beschreibung klingt jetzt sehr durcheinander,
aber leider sieht es momentan so in meinem Kopf aus :-( ....
Ich hoffe, Du verstehst aber trotzdem ein bisschen.
Vielen Dank schon im Voraus,
Margarita
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Margarita!
Ich muss dich enttäusche, in der Form kenne ich das nicht.
Für mich ist $A$ die darstellende Matrix der Quadrik. Wo das $A'$ herkommt, weiß ich leider nicht. Dann ist vermutlich auch meine letzte Antwort nicht so, wie ihr es machen solltet.
Gibt es denn einen Link auf euer Skript im Internet?
Ansonsten sehe ich wenig Hoffnung, es sei denn jemand anders kennt diese Darstellungsform.
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Margarita!
Das einzige, was ich sagen kann, ist:
Die Matrix $A$ bestimmt man genau so, wie ich es das letzte Mal angegeben hatte. Also: Die Faktoren vor den Quadraten auf die Diagonale, von dem Rest jeweils das $1/2$-Fache auf die restlichen Einträge.
Ist dies denn wenigstens klar?
Mehr kann ich, wie gesagt, im Moment nicht dazu sagen...
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Do 01.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> Mehr kann ich, wie gesagt, im Moment nicht dazu sagen...
ich denke, dass die Vektoren dann so aussehen: [mm] $\vec{x}=(1,x_1,x_2,\ldots,x_n)^t$
[/mm]
Dann steht nämlich links oben in der Matrix das absolute Glied und in der restlichen ersten Spalte und Zeile dann jeweils die Hälfte der linearen Koeffizienten. So habe ich es jedenfalls auch schon mal gesehen 
Der Vorteil dieser Darstellung wäre dann (ich weiß nicht, ob man es tatsächlich deswegen macht), dass alle Informationen kompakt in einer Matrix stehen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Marc, liebe Margarita!
Okay, das erscheint mir auch logisch.
Ist damit alles geklärt, Margarita?
Wenn nicht, dann lass uns doch mal am besten das Beispiel aus der Vorlesung komplett durchgehen (biite in einem neuen Diskussionsstrang), du kannst deine Notizen aus der Vorlesung ja ins Forum stellen und wir sinnieren gemeinsam darüber, was in den jeweiligen Schritten gemeint sein könnte. Und anschließend gehen wir dann eine Übungsaufgabe zusammen durch. Wenn du möchtest... Eröffne aber bitte in jedem Fall einen neuen Diskussionsstrang, sonst wird dieser hier zu unübersichtlich.
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Fr 02.07.2004 | | Autor: | margarita |
Lieber Julius,
Wenn nicht, dann lass uns doch mal am besten das Beispiel aus der Vorlesung komplett durchgehen (biite in einem neuen Diskussionsstrang), du kannst deine Notizen aus der Vorlesung ja ins Forum stellen und wir sinnieren gemeinsam darüber, was in den jeweiligen Schritten gemeint sein könnte. Und anschließend gehen wir dann eine Übungsaufgabe zusammen durch. Wenn du möchtest... Eröffne aber bitte in jedem Fall einen neuen Diskussionsstrang, sonst wird dieser hier zu unübersichtlich.
das finde ich eine prima Idee... Finde ich sehr nett, danke...
Ich war echt am Verzweifeln.
Ich kann damit aber erst wieder ab Montag oder Dienstag anfangen.
Koennte ich dann das entsprechende Kapitel im Skript hochladen?
Leider wuesste ich aber nicht, wie ich das machen koennte, da der Link
"Datei-Anhang" hier im Forum bei mir nicht funktioniert.
Gibt es auch eine andere Moeglichkeit das Skript hochzuladen?
Ich werde dann auch einen neuen Diskussionsstrang beginnen,
auf jeden Fall.
Bis dann,
Margarita
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