Quantenmechanik-Eigenfunktion < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien orthonormierte Eigenfunktionen [mm] \Phi_n [/mm] eines Hamiltonoperators H, d.h. es gelte
[mm] H\Phi_n [/mm] = [mm] E_n\Phi_n [/mm] , [mm] <\Phi_n|\Phi_m> [/mm] = [mm] \delta_{nm} [/mm] ,
wobei die Energieeigenwerte [mm] E_n [/mm] nicht entartet sind. Zur Zeit t = 0 befinde sich das physikalische System im Zustand
[mm] \Phi(x, [/mm] t = 0) = [mm] c_1\Phi_1 [/mm] + [mm] c_2\Phi_2 [/mm] , [mm] c_1, c_2 [/mm] ∈ C .
a) Unter welchen Bedingungen ist [mm] \Phi(x, [/mm] t = 0) ein Eigenzustand von H?
b) Geben Sie für t > 0 die zeitliche Entwicklung [mm] \Phi(x, [/mm] t) an.
c) Bestimmen Sie [mm] c_1, c_2, [/mm] so daß [mm] \Phi(x, [/mm] t) normiert ist.
d) Betrachten Sie den Fall [mm] c_1 [/mm] = [mm] -c_2. [/mm] Nach welcher Zeit befindet sich das System im Zustand
[mm] \Phi_1 [/mm] + [mm] \Phi_2?
[/mm]
e) Berechnen Sie <H> für [mm] c_1 [/mm] = [mm] -c_2 [/mm] |
Hallo liebe Leute,
mich interessiert im besonderen die Herangehensweise in Teilaufgabe d).
Die zeitliche Entwicklung für t>0 ist doch: [mm] \Phi(x,t)=c_1*\Phi_1(x)*e^{-iE_1t/h}-c_2*\Phi_2(x)*e^{-iE_2t/h}
[/mm]
Rein formal gesehen, muss ich dann [mm] \Phi(x,t)=\Phi_1+\Phi_2 [/mm] lösen, oder wie bekomme ich die Zeit des neuen Zustands?
Für eine Idee oder einen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar
gruß richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 Di 30.10.2012 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
bis auf ein Vorzeichen (da [mm]\Psi(x,t=0)=c_1\Phi_1(x)+c_2\Phi_2(x)[/mm] sein soll) stimmt die Zeitentwicklung.
Mit deiner Idee hast du Recht: Man nimm nun die Zeitentwicklung der
Wellenfunktion her, setzt dann die Voraussetzung [mm]c_1=-c_2[/mm] ein. Dann
weist du ja, wie [mm]\Psi(x,t)[/mm] ausschaut. Nun stellst du die Frage, wie
du [mm]t[/mm] waehlen musst, so dass dein [mm]\Psi[/mm] genau so ausschaut, wie du
es sagst.
D.h. (bis auf Normierung) muss man halt schauen, wann die beiden [mm]e^{\mathrm{i}\varphi}=\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi[/mm]-Funktionen
das Passende Vorzeichen liefern.
LG
Kroni
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hallo kroni,
vielen Dank für deine Hinweise und Anmerkungen!
gruß richard
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