Quantoren vertauschen < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Fr 27.01.2017 | | Autor: | taytm |
Hi,
angenommen ich habe eine Formel der Form [mm] $\exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y B$. Wenn es keine atomare Teilformel von $B$ gibt, in der $x$ und $y$ vorkommt, darf ich die Quantoren dann immer vertauschen?
Danke und Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
du hast deine Frage jetzt etwas unglücklich formuliert:
> Wenn es keine atomare Teilformel von [mm]B[/mm] gibt, in der [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] vorkommt, darf ich die Quantoren dann immer vertauschen?
So formuliert, lautet die Antwort im allgemeinen: Nein.
Denn du hast gefragt, ob du die Quantoren vertauschen kannst, wenn es keine einzige Teilformel gibt, in der x und y vorkommen.
Es könnte schließlich auch eine atomare Teilformel geben, in der x und eine atomare Teilformel in der y vorkommt. Aber eben keine, wo beide zusammen vorkommen!
Wenn du aber meintest:
Wenn es keine atomare Teilformel von [mm]B[/mm] gibt, in der [mm]x[/mm] vorkommt, oder keine atomare Teilformel von B gibt, in der [mm]y[/mm] vorkommt, darf ich die Quantoren dann immer vertauschen?
Dann lautet die Antwort: Ja.
Auf den mathematischen Unterschied von "und" und "oder" achten!
Insbesondere reicht es hier bereits aus, dass es keine atomaren Teilformeln gibt, wo eins der beiden nicht vorkommt, um die Quantoren vertauschbar zu machen.
Gruß,
Gono
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:12 Fr 27.01.2017 | | Autor: | taytm |
Hey Gono,
erst einmal Danke für deine Antwort.
*Edit*: Ok, ich glaube ich sehe, dass das Blödsinn ist; schon bei [mm] $\forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y ((p(x) [mm] \vee [/mm] q(y)) [mm] \wedge [/mm] r(y))$ funktioniert das i.A. nicht, was ich unten geschrieben habe.
Ich meinte tatsächlich die erste Version in deiner Antwort.
Glaube ich zumindest.
Nochmal anders formuliert: Wenn in [mm] $\forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y B$ ($B$ sei zusätzlich noch Quantorenfrei) in keiner Relation / Prädikat und in keiner Funktion sowohl $x$ als auch $y$ auftaucht, darf ich die beiden Quantoren dann immer vertauschen?
Wenn ich $B$ also schreiben kann als [mm] $A_1 K_1 A_2 K_2 \dots K_{n - 1} A_n$ [/mm] mit atomaren Formeln [mm] $A_i$ [/mm] und aussagenlogischen Konnektiven [mm] $K_i$, [/mm] und für jedes [mm] $A_i$ [/mm] gilt: entweder $x$ kommt in [mm] $A_i$ [/mm] vor und $y$ nicht, oder andersrum, oder weder $x$ noch $y$ in [mm] $A_i$ [/mm] vorkommen; dürfen die beiden Quantoren am Anfang dann vertauscht werden?
Ist das noch immer die Frage, die du mit Nein beantwortet hast?
Mir dämmert das noch nicht so ganz. Meine Frage kommt daher, dass das bei nur zwei atomaren Teilformeln, die über ein aussagenlogisches Konnektiv verknüpft sind, zu funktionieren scheint:
Es gilt doch zum Beispiel, wobei $x$ in $B$ nicht vorkomme und $y$ in $A$ nicht vorkomme: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y ( A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \equiv \forall [/mm] x A [mm] \vee \exists [/mm] y B [mm] \equiv \exists [/mm] y B [mm] \vee \forall [/mm] x A [mm] \equiv \exists [/mm] y [mm] \forall [/mm] x (B [mm] \vee [/mm] A) [mm] \equiv \exists [/mm] y [mm] \forall [/mm] x (A [mm] \vee [/mm] B)$ -- oder?
Grüße
taytm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 So 29.01.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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