Quasi Monte Carlo Verfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Sa 30.07.2011 | | Autor: | LadyA |
Hallo an alle,
ich muss gerade die Monte Carlo Verfahren lernen. Bei dem Quasi Monte Carlo Verfahren steht, dass deterministische Stützstellen benutzt werden, aber was heißt denn hier das "deterministische", kann mir das bitte jemand erklären?
LG
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> Hallo an alle,
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> ich muss gerade die Monte Carlo Verfahren lernen. Bei dem
> Quasi Monte Carlo Verfahren steht, dass deterministische
> Stützstellen benutzt werden, aber was heißt denn hier das
> "deterministische", kann mir das bitte jemand erklären?
>
> LG
Hallo LadyA,
bei eigentlichen Monte Carlo Verfahren werden Punkte
benutzt, die durch Zufallszahlen ermittelt werden. Diese
Punkte sind aber in der Regel trotz der wahrscheinlich-
keitsmäßigen Gleichverteilung eher inhomogen verteilt.
Wenn man in die Bestimmung der Punkte etwas mehr
Regelmäßigkeit einbringt - indem man statt Zufallszahlen
nach bestimmten "deterministischen" Mustern (allerdings
mit bestimmten Vorsichtsmassnahmen) angeordnete
Punkte wählt, kann man unter Umständen mit weniger
Punkten und damit mit weniger Rechenaufwand genauere
Resultate erzielen. Vor allem ist dabei wichtig, dass es
bei solchen Quasi-Monte-Carlo Verfahren möglich ist,
den maximal möglichen Fehler exakt zu bestimmen,
was bei Verfahren mit Zufallszahlen nicht der Fall ist.
Anzumerken wäre allerdings noch, dass eigentlich auch
die (Pseudo-) Zufallszahlen nach deterministischen
Algorithmen berechnet werden.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 So 31.07.2011 | | Autor: | LadyA |
Hi Danke erst mal für die Antwort, war sehr hilfreich:D
Ich hätte noch eine Frage zu dem Thema und zwar verstehe ich nicht was "Diskrepanz" und "Sterndiskrepanz" bedeuten. Es gibt da paar Formeln etc. dazu, aber was sagen die denn aus?
Vielen vielen Dank schon mal für kommende Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mo 01.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hi Danke erst mal für die Antwort, war sehr hilfreich:D
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> Ich hätte noch eine Frage zu dem Thema und zwar verstehe
> ich nicht was "Diskrepanz" und "Sterndiskrepanz" bedeuten.
> Es gibt da paar Formeln etc. dazu, aber was sagen die denn
> aus?
Die (Stern-)Diskrepanz einer endlichen Punktemenge $P := [mm] \{ x_1, \dots, x_N \} \subseteq [/mm] [0, [mm] 1]^n$ [/mm] sagt, wie stark die "Wahrscheinlichkeit" [mm] $\mathbb{P}_P(A) [/mm] := [mm] \frac{|A \cap P|}{|P|}$ [/mm] fuer gewisse Mengen $A [mm] \subseteq [/mm] [0, [mm] 1]^n$ [/mm] hoechstens von der normalen Wahrscheinlichkeit [mm] $\lambda(A)$ [/mm] (Lebesgue-Mass oder was auch immer du willst) unterscheidet. Bei der Diskrepanz betrachtet man Teilintervalle von $[0, [mm] 1]^n$, [/mm] also Dinger von der Form $[a, b]$ mit $a, b [mm] \in [/mm] [0, [mm] 1]^n$, [/mm] $a [mm] \le [/mm] b$; und bei der Sterndiskrepanz betrachtet man Intervalle der Form $[0, b]$, man haelt also die "untere linke" Ecke fest auf den Ursprung.
Damit $P$ annaehernd "gleichverteilt" in $[0, [mm] 1]^n$ [/mm] ist, muss die (Stern-)Diskrepanz moeglichst klein sein: dann verhaelt sich diese "Wahrscheinlichkeit" moeglichst aehnlich wie die Gleichverteilung auf $[0, [mm] 1]^n$.
[/mm]
(Diese "Wahrscheinlichkeit" [mm] $\mathbb{P}_P(A)$ [/mm] zaehlt einfach, wieviele Elemente aus $P$ in einer Menge $A$ liegen, und teilt durch die Gesamtzahl der Elemente in $P$. Das kannst du auch als normierte Summe von $|P|$ ![[]](/images/popup.gif) Dirac-Massen auffassen.)
Ich hoffe das war jetzt etwas verstaendlicher als die Formeln 
LG Felix
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