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Hallo,
ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Beweisen Sie mittels des Quotientenkriteriums die Konvyrgenz der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^k + 1}{k!} [/mm] und ermitteln Sie ihren Grenzwert.
Das Quotientenkriterium ist ja eigentlich kein Problem: [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] < 1. Also sieht es bei mir aus: [mm] |\bruch{\bruch{2^{n+1} + 1}{(n+1)!}}{\bruch{2^n + 1}{n!}}| [/mm] = [mm] |\bruch{2^{n+1} + 1}{(n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{2^n + 1}{n!}| [/mm]
Ich wollte dann n! und [mm] 2^n [/mm] + 1 kürzen, also: [mm] |\bruch{2}{n+1}|.
[/mm]
Stimmt das bis hierher? Und wenn ja, wie soll ich jetzt die Konvergenz beweisen?
Außerdem ist mir nicht ganz klar, wie ich den Grenzwert der Reihe berechnen kann.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
Cuchulainn
P.S. Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Sa 24.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Christopher.
> Konvyrgenz der Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^k + 1}{k!}[/mm]
> und ermitteln Sie ihren Grenzwert.
>
> Das Quotientenkriterium ist ja eigentlich kein Problem:
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] < 1. Also sieht es bei mir aus:
> [mm]|\bruch{\bruch{2^{n+1} + 1}{(n+1)!}}{\bruch{2^n + 1}{n!}}|[/mm]
> = [mm]|\bruch{2^{n+1} + 1}{(n+1)!}[/mm] * [mm]\bruch{2^n + 1}{n!}|[/mm]
falsch! Du hast mit dem Nenner statt mit dem Reziproken des Nenners multipliziert!
> Ich wollte dann n! und [mm]2^n[/mm] + 1 kürzen,
"kürzen" kann man nur durch gleiche Faktoren! also geht das sicher nicht!
vielleicht meinst du abschätzen nach oben oder unten?
> [mm]|\bruch{2}{n+1}|.[/mm]
> Stimmt das bis hierher? Und wenn ja, wie soll ich jetzt
> die Konvergenz beweisen?
Es stimmt nicht, ist aber nicht so schwer, versuchs nochmal.
> Außerdem ist mir nicht ganz klar, wie ich den Grenzwert der
> Reihe berechnen kann.
Wenn du die Exponentialreihe kennst und das ganze als 2 Summen schreibst
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^k }{k!}+\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{ 1^{k}}{k!}[/mm]
sollte das Problem gelöst sein!
Gruss leduart
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Danke für die Antwort. Ich habe mich in meiner Frage verschrieben, tut mir leid :(
Auf meinem Blatt war die Multiplikation richtig:
[mm] |\bruch{2^{n+1} + 1}{(n+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{n!}{2^n + 1}|. [/mm]
Und dann habe ich mich missverständlich ausgedrückt. Ich meinte, ich kürze n! mit (n+1)!, so dass noch n+1 im Nenner steht, und [mm] 2^{n+1} [/mm] + 1 kürze ich mit [mm] 2^n [/mm] + 1, so dass im Zähler noch 2 übrig bleibt. So komme ich zu dem Ergebnis [mm] |\bruch{2}{n+1}|. [/mm] Ich finde bei dieser Überlegung beim besten Willen meinen Fehler nicht.
Gruß
Christopher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christopher!
Wie leduart schon schrieb: das geht so nicht!
Der erste Schritt ist ja noch okay:
[mm] $\left|\bruch{2^{n+1}+1}{(n+1)!}*\bruch{n!}{2^n+1}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{2^{n+1}+1}{n+1}*\bruch{1}{2^n+1}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{2^{n+1}+1}{2^n+1}*\bruch{1}{n+1}\right|$
[/mm]
Aber hier ist Schluss!!! Hier kann nicht weiter gekürzt werden!
Daher bitte leduart's Tipp aufgreifen ...
Gruß
Loddar
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