Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Prüfe auf Konvergenz bzw. Divergenz!
[mm] a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^k*k!}{(2k)!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^{k+3}+k^3}
[/mm]
c) [mm] a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k} [/mm] |
[mm] a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^k*k!}{(2k)!}
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(2(k+1))!}*\bruch{2k!}{(2^k*k}
[/mm]
Das kann ich umformen durch kürzen zu:
[mm] \bruch{2*(k+1)!}{(2k+2)!}*\bruch{2k!}{k}
[/mm]
Und da komme ich nicht weiter! Ich müsste sicher (2k+2)! mit (2k)! kürzen aber ich weiß nicht wie!
b) Auch hier scheitert es am kürzen!
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^{k+3}+k^3}
[/mm]
[mm] \bruch{3^{k+1}}{2^{(k+1)+3}+(k+1)^3}* \bruch{2^{k+3}+k^3}{3^k}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2^{(k+1)+3}+(k+1)^3}* \bruch{2^{k+3}+k^3}{1}
[/mm]
Und hier hörts auf mit meinen Kürzungskünsten!
c) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}
[/mm]
[mm] \bruch{2^{k+1}(k+1)^3+2}{2+(-5)^{k+1}}*\bruch{2+(-5)^k}{2^kk^3+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{2^{k+1}(k+1)^3+2}{(-5)^1}*\bruch{1}{2^kk^3+2}
[/mm]
Und auch hier gehts nicht weiter!
Könnt ihr mir hier helfen? Es sind eigentlich immer die selben Probleme! z.B. [mm] k^3 [/mm] und [mm] (k+1)^3 [/mm] kürzen usw..
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Do 06.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Prüfe auf Konvergenz bzw. Divergenz!
>
> [mm]a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^k*k!}{(2k)!}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^{k+3}+k^3}[/mm]
>
> c) [mm]a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}[/mm]
> [mm]a)\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^k*k!}{(2k)!}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(2(k+1))!}*\bruch{2k!}{(2^k*k}[/mm]
Das stimmt doch nicht !
Richtig: [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(2(k+1))!}*\bruch{(2k)!}{2^k*k!}[/mm]
Es ist (2k+2)!= (2k)!(2k+1)(2k+2)
Jetzt nochmal von vorne !
>
> Das kann ich umformen durch kürzen zu:
>
> [mm]\bruch{2*(k+1)!}{(2k+2)!}*\bruch{2k!}{k}[/mm]
>
> Und da komme ich nicht weiter! Ich müsste sicher (2k+2)!
> mit (2k)! kürzen aber ich weiß nicht wie!
>
> b) Auch hier scheitert es am kürzen!
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{2^{k+3}+k^3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3^{k+1}}{2^{(k+1)+3}+(k+1)^3}* \bruch{2^{k+3}+k^3}{3^k}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{3}{2^{(k+1)+3}+(k+1)^3}* \bruch{2^{k+3}+k^3}{1}[/mm]
>
> Und hier hörts auf mit meinen Kürzungskünsten!
Warum willst Du das denn mit dem Quotientenkriterium erledigen ???
Es ist [mm] a_k=\bruch{3^k}{2^{k+3}+k^3} \ge \bruch{2^k}{2^{k+3}+k^3}. [/mm] Jetzt sieht man: [mm] (a_k) [/mm] ist keine Nullfolge.
>
> c) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^kk^3+2}{2+(-5)^k}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2^{k+1}(k+1)^3+2}{2+(-5)^{k+1}}*\bruch{2+(-5)^k}{2^kk^3+2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2^{k+1}(k+1)^3+2}{(-5)^1}*\bruch{1}{2^kk^3+2}[/mm]
1. Deine Kürzerei ist eine Katastrophe !
2. Such Dir ein anderes Kriterium !
FRED
>
> Und auch hier gehts nicht weiter!
>
> Könnt ihr mir hier helfen? Es sind eigentlich immer die
> selben Probleme! z.B. [mm]k^3[/mm] und [mm](k+1)^3[/mm] kürzen usw..
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke Fred aber wir MÜSSEN das mit dem Quotientenkriterium zeigen. Ist leider so vorgegeben!
[mm] |\bruch{a_{k+1}}{k}|=\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(2k)!(2k+1)(2k+2)}*\bruch{(2k)!}{2^k*k!}
[/mm]
[mm] =\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(2k+1)(2k+2)}*\bruch{1}{2^k*k!}
[/mm]
Und auch jetzt hören meine Ideen zum kürzen auf
Was war bei den anderen Aufgaben falsch gekürzt? Sorry aber ich sehe meine Fehler nicht.
LG
heinze
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> Danke Fred aber wir MÜSSEN das mit dem Quotientenkriterium
> zeigen. Ist leider so vorgegeben!
Poste bitte mal die genau Aufgabenstellung. (Wortwörtlich)
>
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> [mm]|\bruch{a_{k+1}}{k}|=\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(2k)!(2k+1)(2k+2)}*\bruch{(2k)!}{2^k*k!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2^{k+1}*(k+1)!}{(2k+1)(2k+2)}*\bruch{1}{2^k*k!}[/mm]
Folgende Tipps:
[mm] 2^{k+1} [/mm] = [mm] 2^{k}*2
[/mm]
(k+1)! = k!*(k+1)
(2k+2) = 2*(k+1)
>
> Und auch jetzt hören meine Ideen zum kürzen auf
>
> Was war bei den anderen Aufgaben falsch gekürzt? Sorry
> aber ich sehe meine Fehler nicht.
>
>
> LG
> heinze
Setze meine obigen Tipps ein und du wirst sehen wieviel sich einfach wegkürzt!
Ich habe das Gefühl, dass dir die Rechenregeln für Potzenzen und Fakultäten fehlen. Evtl würde ich paar YouTube Videos anschauen.
Grüße
Ali
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Der Link funktioniert nicht. Gib einfach in YouTube ein: "Rechnen mit Fakultät". Dann das erste Video von JosefRaddy.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke! Deine Erklärung zu den Umformung war schon ausreichend damit ich es hinkrieg! schaue mir aber trotzdem ein video zu fakultäten an!
Ich erhalte dann mit kürzen [mm] \bruch{1}{2k+1}. [/mm] Und wenn k [mm] \to \infty [/mm] dann ist der Ausdruck <0 also konvergiert die Reihe. Richtig?
Kannst du mir sagen, was bei meinen anderen Aufgaben schief gelaufen ist?
Die genaue Aufgabenstellung war: Untersuche mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz bzw. Divergenz.
Lg
heinze
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Also ich bin auch nur zweitsemester Student... Aber ich würde das so lösen:
Bei der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^{k}}{2^{k+3}+k^{3}}
[/mm]
1. Eigentlich löst man solch eine Reihe die divergiert so, dass man zeigt, dass der Limes von [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 ist.
Aber da ja bei dir verlangt wird, dass du dies mit dem QK löst würde ich das QK anwenden bis folgendes dasteht:
[mm] \bruch{24*2^{k}+3*k^{3}}{16*2^{k}+(k+1)^{3}}
[/mm]
Dann würde ich mir überlegen, wann den dieser Bruch > 1 ist???
Dies ist ja genau dann und nur dann der Fall, wenn der Zähler größer ist als der Nenner.
Also folgt daraus:
[mm] 24*2^{k}+3*k^{3} [/mm] > [mm] 16*2^{k}+(k+1)^{3}
[/mm]
Und durch Abschätzung kann man doch dann sagen, dass dies stimmt und daraus dann folgern, dass die Reihe divergiert.
Das sind jetzt nur mal so meine Gedankengänge... keine Ahnung ob das so stimmt. Sollten die anderen lieber nochmal absegnen bzw. korrigieren.
Grüße
Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke für deine Lösungsidee! Klingt auch ganz verständlich aber so dürfen wir das leider nicht zeigen. wir müssen einen konkreten Grenzwert ermitteln und damit zeigen, dass < 1 oder >1
Kann mir vielleicht noch jemand erklären, wie ich das genau mit dem Quotientenkriterium mache?
LG
heinze
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Hallo heinze,
vielleicht hilft Dir ja schonmal eine Zielvorgabe. Der Grenzwert des im QK betrachteten Quotienten ist hier [mm] \tfrac{3}{2}. [/mm] Das musst Du zeigen.
Also [mm] \underset{n\to\infty}{lim} \bruch{3^{n+1}}{(2^{n+4}+(k+1)^3)}*\bruch{(2^{n+3}+k^3)}{3^n}=\cdots=\bruch{3}{2}
[/mm]
Nutze aus, dass Exponentialfunktionen viel schneller wachsen als Potenzen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke reverend. Den Grenzwert hab ich erahnt, aber mein Problem liegt hier ehr im kürzen bzw. umformen. Da komme ich auch bei ähnlichen Aufgaben nicht weiter. Kannst du mir das an dem Beispiel vielleicht mal genauer eklären? Ich habe weitere sehr ähnliche Beispiele, komme aber nicht voran, weil es am umformen hapert
LG
heinze
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Hallo nochmal,
die Dreierpotenzen sind ja einfach. Für das übrige klammerst Du im Zähler [mm] k^3*2^{k+3} [/mm] und im Nenner [mm] k^3*2^{k+4} [/mm] aus.
Dann hast Du [mm] \bruch{k^3*2^{k+3}}{k^3*2^{k+4}}*\bruch{1+\bruch{1}{2^{k+3}}}{1+\bruch{1+3/k+3/k^2+1/k^3}{2^{k+4}}}
[/mm]
Da kürzt sich wieder einiges weg, und dass der Rest für [mm] k\to\infty [/mm] dann gegen 1 geht, ist leicht zu sehen. Hoffe ich.
Wieso ich jetzt k statt vorher n genommen habe, weiß ich auch nicht. Es ändert aber nichts an der Sache.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke fürs ausführliche Erklären. Mir war das mit dem Ausklammern nicht klar bzw mir fehlt noch der Blick dafür! Habe es aber nun verstanden und kann die nächsten Aufgaben selbst lösen!
LG
heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 06.06.2013 | | Autor: | heinze |
Doch nochmal eine Verständnisfrage: wie kann ich [mm] k^3*2^{k+1} [/mm] ausklammern, wenn doch ein + dazwischen steht? Und was ist mit [mm] (k+1)^3?
[/mm]
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Doch nochmal eine Verständnisfrage: wie kann ich
> [mm]k^3*2^{k+1}[/mm] ausklammern, wenn doch ein + dazwischen steht?
Na, aus jedem Summanden ...
Bsp. [mm]a+b[/mm] und du willst [mm]c\neq 0[/mm] ausklammern:
[mm]a+b=c\cdot{}\left(\frac{a+b}{c}\right)=c\cdot{}\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)[/mm]
> Und was ist mit [mm](k+1)^3?[/mm]
[mm](k%2B1)%5E3%3D%5Cleft%5Bk%5Ccdot%7B%7D%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cright)%5Cright%5D%5E3%3Dk%5E3%5Ccdot%7B%7D%5Cleft(1%2B1%2Fk%5Cright)%5E3[/mm]
>
>
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
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