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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:58 Mi 19.07.2006 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
angenommen wir haben einen vollstaendig metrischen Raum X und eine Aequivalenzrelation ~. Unter welchen Bedingungen koennte der Quotientenraum X/~ metrisch und vollstaendig sein?
Beste Gruesse
bjj
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Gruß!
Naja, um die Metrik auf $X / [mm] \sim$ [/mm] fortsetzen zu können, muss sie mit der Äquivalenzrelation verträglich sein. Sind also $x,x',y,y' [mm] \in [/mm] X$ mit $x [mm] \sim [/mm] x'$ und $y [mm] \sim [/mm] y'$, dann muss immter $d(x,y) = d(x',y')$ gelten.
Dann kann man für zwei Äquivalenzklassen $[x], [y]$ mit Repräsentanten $x,y [mm] \in [/mm] X$ definieren:
[mm] $d\big([x],[y]\big) [/mm] := d(x,y)$
und die obige Bedingung sichert die Wohldefiniertheit, d.h. die Unabhängigkeit dieser Definition von der Wahl der Repräsentanten.
(EDIT: Leider ist diese Verträglichkeitsbedingung zu stark, sie ist nämlich nur für die triviale Äquivalenzrelation $x [mm] \im [/mm] x$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \not\sim [/mm] y$ für $x [mm] \not= [/mm] y$ erfüllt...)
Falls $X$ vollständig ist, dann ist $X / [mm] \sim$ [/mm] auch immer vollständig, würde ich behaupten... denn wenn man eine Cauchy-Folge [mm] $[x_n]$ [/mm] im Quotientenraum hat, dann ist [mm] $(x_n)$ [/mm] auch eine Cauchyfolge in $X$, es gibt also einen Grenzwert $x [mm] \in [/mm] X$ und dann ist $[x] [mm] \in [/mm] X / [mm] \sim$ [/mm] natürlich auch Grenzwert der ursprünglichen Folge.
Falls man sich ein anderes System von Repräsentanten [mm] $x_n'$ [/mm] sucht mit [mm] $x_n' \sim x_n$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] dann ist [mm] $(x_n')$ [/mm] wieder eine Cauchy-Folge in $X$ mit Grenzwert $x'$, aber dann ist $[x']$ auch Grenzwert von [mm] $[x_n]$ [/mm] und eine konvergente Folge kann nur einen Grenzwrrt haben, es folgt also $[x] = [x']$ und daher $x [mm] \sim [/mm] x'$.
Falls sich da ein Fehler eingeschlichen haben sollte, bitte ich um Korrektur, aber eigentlich müsste das so stimmen. Bin etwas müde, daher keine Garantie... 
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Do 27.07.2006 | | Autor: | BJJ |
Hi Lars,
vielen Dank fuer deine ausfuehrliche Antwort. Ich glaube, sie ist aber nicht ganz korrekt.
Angenommen wir haben eine Cauchy Folge im Quotientenraum und zwar die konstante Folge [x], [x], [x], .... Seien x und y Repraesentaten von [x]. Dann ist die Folge x,y,x,y,x,y.... keine Cauchy Folge in X.
Gibt es zu solchen Problemen keine Resultate aus der Topologie bzw. wo koennte ich am ehesten welche finden?
Beste Gruesse
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Fr 28.07.2006 | | Autor: | Gnometech |
Gruß!
Also, bei näherem Hinsehen hast Du Recht, ich allerdings auch.
Ich habe ja eine (ziemlich starke) Verträglichkeitsbedingung gepostet. Und diese Bedingung hat zur Folge, dass dieses Phänomen nicht auftreten kann.
Nimm an, dass $x [mm] \sim [/mm] y$. Aufgrund der Reflexivität gilt auch $x [mm] \sim [/mm] x$ und die Verträglichkeitsbedingung liefert:
$d(x,y) = d(x,x) = 0$ und daraus folgt $x = y$.
Mit anderen Worten (was mir nicht klar war): das stimmt zwar alles, aber die Verträglichkeitsbedingung ist nur für die triviale Äquivalenzrelation erfüllt, die keine ist... also $x [mm] \sim [/mm] x$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \not\sim [/mm] y$ für $x [mm] \not= [/mm] y$.
Von daher bin ich gespannt, was auf dem anderen Forum herauskommt. Für Pseudometriken könnte die Definition trotzdem Sinn ergeben, denn da ist es erlaubt, dass $d(x,y) = 0$ obwohl $x [mm] \not= [/mm] y$, aber danach war ja nicht gefragt...
Gruß,
Lars
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Hallo.
Ich denke, die geforderten Eigenschaften sind erfüllt, wenn Deine Äquivalenzklassen kompakt sind.
Dann wird aus der induzierten Metrik
[mm] $d([x],[y])=\inf\{d(x,y)\mid x\in [x],y\in [y]\}=\min\{d(x,y)\mid x\in [x],y\in [y]\}$, [/mm] sprich, es existiert zu jeder Äquivalenzklasse [mm] $[x]_n$ ($([x]_n)_{n\in\IN}$ [/mm] Cauchy-Folge in [mm] $X/\sim$) [/mm] ein [mm] $x_n\in [x]_n$ [/mm] mit [mm] $d([x]_n,[x]_m)=d(x_n,x_m)$, [/mm] also bilden die [mm] $x_n$ [/mm] eine Cauchyfolge in $X$. Nach Voraussetzung ist diese konvergent, sagen wir gegen [mm] $x^*\in [/mm] X$. Dann ist die Äquivalenzklasse [mm] $[x^*]\in X/\sim$ [/mm] der limes der Folge [mm] $([x]_n)_{n\in\IN}\subset X/\sim$ [/mm] und der Quotientenraum damit vollständig.
Kann allerdings sein, daß ich in den (für Semesterferien  ) ziemlich frühen Morgenstunden jetzt nen ziemlichen Bock geschossen hab, aber vielleicht hilfts ja was...
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Do 27.07.2006 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich habe inzwischen die Frage auch in einem anderen Forum (newsgroup sci.math) gepostet. Der vollstaendige Text kann auch unten eingesehen werden. Damit kann meine Frage aus dem Forum zurueckgezogen werden, wenn das gegen die Regeln hier verstoessen sollte. Das heisst aber nicht, das ich mich nicht fuer Eure Antworten interessiere.
Beste Gruesse
j
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Hello,
let X, Y be metric topological spaces, where Y = X/~ (~ is an
equivalence relation on X). Suppose X is complete. Is there some
theorem stating something like
"Suppose that X satisfies some properties P and Y some properties Q,
then Y is complete."
or
"Suppose that f:X -> Y" is continuous and some other properties P hold,
then Y is complete."
Here P, Q are properties like normed space, Hausdorff space or
something else. All I would like to know is under which conditions Y =
X/~ is complete given X is complete.
Thank you!
Best
j
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Fr 28.07.2006 | | Autor: | SEcki |
> angenommen wir haben einen vollstaendig metrischen Raum X
> und eine Aequivalenzrelation ~. Unter welchen Bedingungen
> koennte der Quotientenraum X/~ metrisch und vollstaendig
> sein?
Zuerst: lohnt es sich den newsbeitrag zu verfolgen?
Meine kurzen berlegungen: als kanonische Metrik würde ich ja eher das Infimum über alle Abstände in den Klassen nehmen ([m]d(X,Y)=\inf_{x\in X, y\in Y} d(x,y)[/m]). Nun, wann ist die Metrik positiv? Na dann, wenn die Äquivalenzrelation nur kompakte Klassen abwirft. Vollständigkeit hab ich mir nciht überlegt.
Otoh: wenn man eine Mgf, hat (die immer metrisierbar sind), und der Quotient wieder eine ist, ist das wieder metrisierbar. Vollständigkeit: da geht dann was mit Riemannsche Überlagerungen und Hopf-Rienow (sp?).
Die Frage ist halt, was du an die Metrik vom Quotientenraum stellst, wenn der Raum auf endlich viele Punkte zusammenfällt, ist es ja auch metrisierbar - und vollständig.
Just food for thought.
SEcki
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:09 Fr 28.07.2006 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
danke fuer Eure Antworten. Von der anderen Newsgroup habe ich bisher noch nichts gehoert. Falls etwas kommen sollte, kann ich ja die Antworten hier einstellen.
Ich schraenke das Problem ein: Sei V ein metrischer Vektorraum und T eine endliche Untergruppe der orthogonalen Transformationen von V. Dann kann ich zu Fuss zeigen, dass der Quotientenraum V/T metrisch und vollstaendig ist, wobei die Metrik so induziert wird, wie SEcki es vorgeschlagen hat, naemlich durch
D([x], [y]) = min d(x, y) ueber alle x [mm] \in [/mm] [x] und y [mm] \in [/mm] [y].
Weil T eindlich ist sind die Aequivalenzklassen endlich, also kompakt.
Ich koennte nun zu Fuss beweisen, dass V/T metrisch und vollstaendig ist. Doch ich bin ueberzeugt, dass die Mathematik solche Faelle schon gut untersucht hat und ich einfach nur bekannte Theoreme verwenden kann statt das ganze selbst zu beweisen. Weil ich kein Mathematiker bin, interessiere ich mich nun fuer diese Resultate bzw dafuer welches Teilgebiet der Topologie sich mit solchen Dingen beschaeftigt, d.h. in welchen Buechern kann man das finden. Die Buecher, die ich mir angeschaut habe, behandeln Qiuotienteraeume nicht so ausfuehrlich.
Beste Gruesse
bjj
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