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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:14 Fr 29.07.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei f: (O, [mm] \mathcal{O}_x) \rightarrow [/mm] Y gegeben. Die finale Topologie auf Y bezüglich f ist definiert als [mm] \mathcal{O}_y :=\{G \subseteq Y | f^{-1}(G) \in \mathcal{O}_x\}
[/mm]
Ein wichtiger Speziealfall davon ist der Quotient Y:=X/~ eines topologischen Raumes X nach einer Äquivalenzrelation ~ mit der kanonischen Surjektion q:X [mm] \rightarrow [/mm] Y, die x [mm] \in [/mm] X auf die Klasse von x bzgl ~ abbildet. Die Finale Topologie auf Y bzgl q heiß Quotiententopologie. [mm] G\subseteq [/mm] Y ist offen, falls [mm] q^{-1} [/mm] (G) offen in X ist.
Ein einfaches Bsp ist X= [mm] \mathbb{R} [/mm] mit der euklidischen Topologie und x~y, falls y-x ein ganzzahlges Vielfaches von 2 [mm] \pi [/mm] ist. Dann können wir den Quotienten mit [mm] Y=S^1 [/mm] identifizieren und die Quotientenabbildung mit [mm] q:\mathbb{R} \rightarrow S^1, [/mm] q(x)=(cos(x),sin(x)). Die Quotiententopologie auf [mm] S^1 [/mm] entspricht hier der Spurtopologie von [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] auf [mm] S^1. [/mm] |
Hallo,
Es geht um das Bsp in [mm] X=\mathbb{R}. [/mm] Wie kommt man auf die angegebene Quotientenabbildung?
[mm] C_x=[x]=\{y \in \mathbb{R}|x ~y\}=\{x + 2k \pi| k\in \mathbb{Z}\}
[/mm]
Aus der Analysis 1 ist auch bekannt x~y [mm] \iff sin(\frac{x-y}{2})=0 \iff e^{i(x-y)}=1
[/mm]
Es ist klar, dass cos und sin [mm] "2\pi [/mm] periodisch" sind.
Liebe Grüße,
Sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Fr 29.07.2016 | | Autor: | hippias |
Mir ist nicht ganz einsichtig, worauf Deine Frage abzielt. Die Abbildung parametrisiert den Einheitskreis; beantwortet das Deine Frage? Man könnte als Bildmenge auch andere Mengen - z.B. das Intervall [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] - und entsprechend andere Abbildungen $q$ wählen. Der Einheitskreis ist wohl "spannender".
Es werden im Beispiel eigentlich $2$ Aussagen gemacht:
1. dass der Quotient mit [mm] $S^{1}$ [/mm] identifiziert werden kann
2. dass die Quotiententopologie der Abbildung $q$ der Spurtopologie entspricht
Hast Du damit Probleme?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 So 31.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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