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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | | Es sei V eindlich-dimensional, dimV=n. Es sei [mm] \IB_{U} [/mm] = [mm] {v_{1},....v_{m}} [/mm] eine Basis von U. Ergänze [mm] \IB_{U} [/mm] zu einer Basis von V durch Vektoren [mm] v_{m+1},....v_{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge [mm] {v_{m+1} + U,...,v_{n} + U} [/mm] eine Basis von V/U ist. Folgern Sie, dass dimV/U = dimV - dimU. |
So den ersten Teil habe ich. Ich habe bei der ergänzenden Basis gezeigt dass sie linear unabhängig ist und das der Quotientenvektorraum V/U erzeugt wird. Aber irgendwie hab ich probleme die dimension des Quotientenvektorraums zu beweisen. In der Literatur habe ich einiges nachgelesen und fand das man dimV durch dimImF + dimKerF ersetzen kann aber diese Begriffe wie Kern hatten wir noch nicht. IIch habe versuch das mit der normalen Dimensionsformel herzuleiten bin aber auf kein riuchiges ergebnis gekommen. Hat von euch einer eine kleine Idee wie man das machen kann?
Gruß
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> Es sei V eindlich-dimensional, dimV=n. Es sei [mm]\IB_{U}[/mm] =
> [mm]{v_{1},....v_{m}}[/mm] eine Basis von U. Ergänze [mm]\IB_{U}[/mm] zu
> einer Basis von V durch Vektoren [mm]v_{m+1},....v_{n}.[/mm] Zeigen
> Sie, dass die Menge [mm]{v_{m+1} + U,...,v_{n} + U}[/mm] eine Basis
> von V/U ist. Folgern Sie, dass dimV/U = dimV - dimU.
> So den ersten Teil habe ich. Ich habe bei der ergänzenden
> Basis gezeigt dass sie linear unabhängig ist und das der
> Quotientenvektorraum V/U erzeugt wird. Aber irgendwie hab
> ich probleme die dimension des Quotientenvektorraums zu
> beweisen.
Hallo,
das ist mir jetzt rätselhaft:
wenn Du doch gezeigt hast, daß die Menge [mm]{v_{m+1} + U,...,v_{n} + U}[/mm] eine Basis von V/U ist, dann kennst Du doch die Dimension von V/U !
dimV und dimU sind vorgegeben, die Differenz kannst Du folglich berechnen, und dann mußt Du ja nur noch vergleichen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 20.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo angela!
Die dimension von V/U ist n-m, dimV = n und dimU = m...Ich hatte nur gedacht dass ich das speziel herleiten soll.... Geht dass denn nicht mit der Dimensionsformel?
Gruß
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> Hallo angela!
>
> Die dimension von V/U ist n-m, dimV = n und dimU = m...Ich
> hatte nur gedacht dass ich das speziel herleiten soll....
Hast Du doch.
> Geht dass denn nicht mit der Dimensionsformel?
Mit welcher?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Di 20.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
dim(U+V) = dimU + dimV - [mm] dim(U\capV) [/mm] wir hatten nur die!
Ich weiss dass das damit geht: dimV = dimImF + dimKerF aber die hatten wir noch nicht in der Vorlesung und deshalb dürfen wir das nicht verwenden!
Gruß
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Ich bin ja der Meinung, daß Du bereits alles gezeigt hast, was Du zeigen sollst, denn Du hast ja eine Basis v. V/U.
Ich würde da keinen Fatz mehr schreiben als daß die Dim U/V= n-m ist und folglich die Formel stimmt.
> dim(U+V) = dimU + dimV - [mm]dim(U\capV)[/mm] wir hatten nur die!
Was willst Du mit dieser Formel machen? Die ist ja für Unterräume eines Vektorraumes.
Aber V/U ist ja kein Unterraum v. V.
Da müßtest Du irgendwelche Klimmzüge machen, z.B. zeigen, daß V/U isomorph ist zu [mm] W:=.
[/mm]
Dann geht's natürlich: dimV=dim(U+W) = dimU + dimW - [mm]dim(U\capW)[/mm]=dimU + dimW ==> dimW=dim V-dimU.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Di 20.11.2007 | | Autor: | Feli2812 |
Hallo,
ich hätt da mal eine Frage...und zwar: Wie hast du denn die lineare Unabhängigkeit gezeigt? Ich hab die Menge als Summe geschrieben, und dann muss ich ja zeigen, dass nur die triviale Lösung, also für ai =0 funktioniert...doch hier komm ich nicht weiter...jetzt dachte ich vllt. hilft mir das Austauschlemma..doch irgendwie kann ich das auch nicht anwenden..:-(...bin ich auf dem richtigen Weg?? *ich-hoffe*
wäre lieb, wenn du mir helfen könntest,
lg
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Hi!
Du musst ja zeigen dass [mm] v_{m+1} [/mm] + [mm] U,...,v_{n} [/mm] + U linear unabhängig sind.
Dann schreibe [mm] \lambda_{1} (v_{m+1} [/mm] + U) +....+ [mm] \lambda_{n-m} (v_{n} [/mm] + U) = 0
[mm] \Rightarrow (\lambda_{1} v_{m+1}+....+\lambda_{n-m} v_{n}) [/mm] + U = 0 Damit ist das [mm] \lambda_{1} v_{m+1}+....+\lambda_{n-m} v_{n} \in [/mm] U
und es muss ein ein x [mm] \in [/mm] U existieren mit [mm] \lambda_{1} v_{m+1}+....+\lambda_{n-m} [/mm] = x.
So und für dieses x existiert dann eine darstellung für die Basis von U: Nun gelichsetzten und du bekommst dann durch etwas umstellen heraus dass [mm] \lambda_{1} [/mm] = .....= [mm] \lambda_{n-m} [/mm] = 0 ist. Zum schluss musst du noch kurz zeigen dass V/U erzeugt wird. Hoffe das konnte dir ein wenig helfen!
Gruß
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Hallo,
Du scheinst das mit den Quotientenräumen recht gut verstanden zu haben, prima.
Ein Tip noch:
Ich finde es in solchen Situationen meist sehr hilfreich, an die 0 per Index anzuhängen, welchen Raum man betrachtet, so wie in der anderen Aufgabe: [mm] 0_{V/U}. [/mm] Oftmals wirkt das Verwirrungen entgegen - welchen Du aber unten nicht zum Opfer gefallen bist.
Gruß v. Angela
> Dann schreibe [mm]\lambda_{1} (v_{m+1}[/mm] + U) +....+
> [mm]\lambda_{n-m} (v_{n}[/mm] + U) = 0
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