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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Moin!
Habe wieder einmal ein Problem. Wäre glücklich, wenn mir jemand verraten könnte, ob mein Ansatz wenigstens ansatzweise richtig ist ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") . Und zwar für folgende Aufgabe.
Sei p [mm] \in [/mm] K[x]:=R und U [mm] \le_R [/mm] V, (wobei V ein K-Vektorraum und als R-Modul aufzufassen ist)
Zu zeigen ist: Up=U [mm] \gdw [/mm] p und [mm] m_U [/mm] sind teilerfremd
Mein Ansatz wäre jetzt, mit dem Satz p,q [mm] \in [/mm] K[x] teilerfremd [mm] \gdw [/mm] Es ex. u,v [mm] \in [/mm] K[x] mit up+vq=1
Schaue ich mir also die Rückrichtung an. Ich weiß, dass ich a,b [mm] \in [/mm] K[x] finde mit *) [mm] ap+bm_U=1. [/mm] Ich brauche nur zu zeigen, dass U [mm] \subseteq [/mm] U*p gilt, da die andere inklusion ja schon durch U [mm] \le_R [/mm] V gegeben ist.
Wenn ich jetzt. Sei also u [mm] \in [/mm] U. Wenn ich *) auf u anwende, erhalte ich:
[mm] u^{ap+bm_U}=u^{ap}+u^{bm_U}=u^1
[/mm]
da [mm] u^{m_U}^b=0 [/mm] ist, und [mm] u^a [/mm] wieder ein Element aus U, dachte ich, dass ich das so hinbekommen, doch bei zweitem Nachdenken fiel mir auf, dass in diesem fall (Potenzschreibweise von der Funktion) ja [mm] u^1 [/mm] gar nicht u ist, oder? bei 1 handelt es sich ja nicht um die Identität sonder um die einsfunktion und damit wäre [mm] u^1=1 [/mm] und nicht u und mein ganzer Ansatz unnütz, sehe ich das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sanshine!
Vorneweg: Ich kenne mich damit nicht besonders gut aus und es mag sein, dass ich hier Blödsinn erzähle.
Man braucht ja auch irgeneinen festen Endomorphismus $f [mm] \in [/mm] End(V)$, oder?
Oder wie kann ich sonst einen $K$-Vektorraum als $K[x]$-Modul interpretieren??
> Wenn ich *) auf u
> anwende, erhalte ich:
> [mm]u^{ap+bm_U}=u^{ap}+u^{bm_U}=u^1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da [mm]u^{m_U}^b=0[/mm] ist, und [mm]u^a[/mm] wieder ein Element aus U,
> dachte ich, dass ich das so hinbekommen, doch bei zweitem
> Nachdenken fiel mir auf, dass in diesem fall
> (Potenzschreibweise von der Funktion) ja [mm]u^1[/mm] gar nicht u
> ist, oder?
Doch, ich denke schon!
Es gilt ja:
[mm] $u^1=[1(f)](u)=[1 \cdot f^0](u) [/mm] = id(u)=u$
> und mein ganzer Ansatz unnütz, sehe ich das richtig?
Nein, ich denke du hast alles richtig gemacht. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank. Bin zwar krank und kann den Zettel ohnehin nicht abgeben, aber es freut mich, dass der Ansatz richtig war. Schöne Woche noch,
San
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