Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mi 16.01.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, zu lösen ist folgendes Randwertproblem:
(i) [mm] $-f=\lambda [/mm] f''(x)$
(ii) $f(1)=0$
(iii) $f'(0)=0$ |
Ich habe als allgemeine Lösung von (i) erstmal Folgendes berechnet:
[mm] $f(x)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}x\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}x\right)$
[/mm]
Stimmt das wohl? Und wenn ja, wie macht man denn nun weiter?
Viele Grüße für Euch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, zu lösen ist folgendes Randwertproblem:
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> (i) [mm]-f=\lambda f''(x)[/mm]
>
> (ii) [mm]f(1)=0[/mm]
>
> (iii) [mm]f'(0)=0[/mm]
> Ich habe als allgemeine Lösung von (i) erstmal Folgendes
> berechnet:
>
>
> [mm]f(x)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}x\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}x\right)[/mm]
>
>
> Stimmt das wohl? Und wenn ja, wie macht man denn nun
> weiter?
Bestimme [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] so, dass $ f(1)=0 $ und $ f'(0)=0 $
gilt.
FRED
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> Viele Grüße für Euch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mi 16.01.2013 | | Autor: | mikexx |
Wie macht man das?
Ich habe zwei Gleichungen aufgestellt:
[mm] $f(1)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0$
[/mm]
und
[mm] $f'(0)=C_1\cdot\sqrt{\frac{1}{\lambda}}=0$
[/mm]
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Hallo mikexx,
> Wie macht man das?
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> Ich habe zwei Gleichungen aufgestellt:
>
> [mm]f(1)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]f'(0)=C_1\cdot\sqrt{\frac{1}{\lambda}}=0[/mm]
Das sieht richtig aus!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 16.01.2013 | | Autor: | mikexx |
Das ist schonmal super. 
Nur, wie berechnet man damit jetzt die beiden Konstanten?
Also eine mögliche Kombination ist [mm] $C_1=0=C_2$.
[/mm]
Aber ist noch mehr möglich?
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Hallo mikexx,
> Das ist schonmal super.
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> Nur, wie berechnet man damit jetzt die beiden Konstanten?
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> Also eine mögliche Kombination ist [mm]C_1=0=C_2[/mm].
>
Das ist die triviale Lösung.
> Aber ist noch mehr möglich?
Aus der Gleichung
[mm]f'(0)=C_1\cdot\sqrt{\frac{1}{\lambda}}=0[/mm]
folgt zunächst [mm]C_{1}=0[/mm].
Dann folgt aus der Gleichung
[mm]f(1)=C_1\sin\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)+C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0[/mm]
[mm]\rightarrow C_2\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0[/mm]
Um jetzt eine nicht-triviale Lösung zu erhalten, muß
[mm]\cos\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda}}\right)=0[/mm]
erfüllt werden.
Daraus erhältst Du dann die möglichen Werte für [mm]\lambda[/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 16.01.2013 | | Autor: | mikexx |
Danke, MathePower.
Also ich habe dann heraus
[mm] §\lambda=\frac{1}{(n-1/2)^2\pi^2}, n\in\mathbb{Z}$.
[/mm]
Korrekt?
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Hallo mikexx,
> Danke, MathePower.
>
> Also ich habe dann heraus
>
> [mm]§\lambda=\frac{1}{(n-1/2)^2\pi^2}, n\in\mathbb{Z}$.[/mm]
>
>
> Korrekt?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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