Rang geg. Wie viele Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Sa 26.12.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | a, Angenommen, Q ist eine 3 x 3 -Matrix mit rang Q = 1. Kann Q drei verscheidene Eigenwerte haben?
b, Finden Sie eine Matrix A mit Eigenwerten [mm] \lambda_1 [/mm] = 1, [mm] \lambda_2 [/mm] = 2, [mm] \lambda_3 [/mm] = 3. A soll keine Diagonalmatrix sein! |
Hallo Zusammen,
a,
Der Rang von Q ist gleich 1, also nur ein Pivotelement und somit zwei linear abhängige Spalten / Zeilen. Die Eigenwerte berechnet man aus
det(Q - [mm] \lambda [/mm] E) = 0
Da müsste es doch nun einen direkten Zusammenhang zwischen Rang einer Matrix und den Eigenwerte über die Determinante geben?
Meine Vermutung: Es gibt höchsten zwei Eigenwerte -> nein
Ich habe aber keine genau Begründung dafür.
b,
Ich hätte es nun so geschrieben: A = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
[/mm]
Aber A darf keine Diagonalmatrix sein, muss A nun so verändert werden, damit es zwar keine Diagonalmatrix mehr ist, jedoch die Eigenwerte gleich bleiben.
Wie kriegt man dies hin?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Sa 26.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
Zu a)
Diagonalisiere die Matrix.
Zu b)
Benutze eine Basistransformation.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Di 29.12.2009 | | Autor: | itse |
> Zu a)
> Diagonalisiere die Matrix.
Okay, dann wäre
Q = S [mm] \lambda S^{-1}; [/mm] S = Eigenvektormatrix, [mm] \lambda [/mm] = Eigenwertmatrix
Und ich weiß nur, dass Q den Rang 1 hat. Da muss es doch einen Zusammenhang zwischen Rang und Eigenwert geben?
In der Lösung steht:
Wenn Rang Q = 1 ist, hat Q einen doppelten Eigenwert 0.
Q kann höchstens noch einen weiteren Eigenwert haben.
Somit gibt es keine drei verschiedenen Eigenwerte.
Wie kommt man denn auf die Beziehung im ersten Satz: Wenn Rang Q = 1 ist, hat Q einen doppelten Eigenwert 0 ?
Besten Dank
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> > Zu a)
> > Diagonalisiere die Matrix.
> Okay, dann wäre
>
> Q = S [mm]\lambda S^{-1};[/mm] S = Eigenvektormatrix, [mm]\lambda[/mm] =
> Eigenwertmatrix
>
> Und ich weiß nur, dass Q den Rang 1 hat. Da muss es doch
> einen Zusammenhang zwischen Rang und Eigenwert geben?
Da S invertierbar ist, ändert es den Rang nicht, d.h. rang(Q) = rang(S [mm] \lambda [/mm] S^-1) = rang( [mm] \lambda [/mm] ).
Jetzt ist die Matrix [mm] \lambda [/mm] schon freundlicher Weise in Zeilenstufenform, d.h. man kann den Rang direkt ablesen. Ausserdem weisst du, dass Q den Rang 1 hat. Jetzt folgt das, was du unten auch schon geschrieben hast.
Die Bedingung, dass dieser Lösungsweg funktioniert, ist, dass die Matrix Q diagonalisierbar ist. Davon steht aber leider in der Aufgabe nichts. Somit ist der einzig richtige Weg der, den du unten geschrieben hast.
> In der Lösung steht:
>
> Wenn Rang Q = 1 ist, hat Q einen doppelten Eigenwert 0.
> Q kann höchstens noch einen weiteren Eigenwert haben.
> Somit gibt es keine drei verschiedenen Eigenwerte.
>
> Wie kommt man denn auf die Beziehung im ersten Satz: Wenn
> Rang Q = 1 ist, hat Q einen doppelten Eigenwert 0 ?
Der Kern von Q ist doch dasselbe wie der Eigenraum von Q zum Eigenwert 0. Mache dir das klar! Dann folgt mit der Dimensionsformel aus Rang Q = 1, dass der Eigenraum von Q zum Eigenwert 0 die Dimension 2 haben muss.
LG, Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Sa 26.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b): wie wärs mit
A = $ [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} [/mm] $
?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Di 29.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Zu b) $A$ und $PAP'$ besitzen dieselben Eigenwerte,
wenn $P$ orthogonal ist...
vg Luis
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