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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Drno |
| Aufgabe | Es geht um die generelle Lösung von solchen Integralen, die durch die Partialbruchzerlegung entstehen:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{x+ \alpha}{( \beta x^{2} + \gamma x + \delta)^{n}} dx}
[/mm]
wobei: [mm] \alpha, \beta, \gamma [/mm] und [mm] \delta \in \IR
[/mm]
und n [mm] \in \IN
[/mm]
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Gibt es eine generelle Vorgehensweise, wie man diese Integrale lösen kann?
Eine Möglichkeit ist, zwei Integrale mit x und [mm] \alpha [/mm] zu machen, oder aber versuchen zu faktorisieren und dann zu Substituieren.
Welcher Weg ist denn meist der Einfachste?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Fr 16.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Drno
> Es geht um die generelle Lösung von solchen Integralen, die
> durch die Partialbruchzerlegung entstehen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{x+ \alpha}{( \beta x^{2} + \gamma x + \delta)^{n}} dx}[/mm]
Ich versteh nicht ganz, wie sowas durch Partialbruchzerlegung entsteht!
Wenn die quadratisch Gleichung reelle Lösungen hat, Dann wieder Partialbruchzerlegung, wenn nicht wirds komplizierter.
> wobei: [mm]\alpha, \beta, \gamma[/mm] und [mm]\delta \in \IR[/mm]
> und n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Gibt es eine generelle Vorgehensweise, wie man diese
> Integrale lösen kann?
Nein, nicht wenn man nicht die Nullstellen des Nenners hat, und dabei kommts drauf an, ob siie reell oder komplex, doppelt oder verschieden sind.
> Eine Möglichkeit ist, zwei Integrale mit x und [mm]\alpha[/mm] zu
> machen, oder aber versuchen zu faktorisieren und dann zu
> Substituieren.
>
> Welcher Weg ist denn meist der Einfachste?
Ein Integral!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Drno |
Vielen Dank für die Antwort, ich habe mich wohl nicht ganz deutlich ausgedrückt, deshalb mache ich mal ein Beispiel:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^{3}-1}{x(x^{2}+4)^{2}} dx} [/mm] liefert mit der Partialbruchzerlegung (wenn ich mich nicht verrechnet habe):
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{-\bruch{1}{16}}{x} dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{16}x+1}{x^{2}+4} dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{4}x-1}{(x^{2}+4)^{2}} dx}
[/mm]
wobei das 1. Integral [mm] -\bruch{1}{16} [/mm] ln(x) ist.
Die Integrale [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{16}x+1}{x^{2}+4} dx} [/mm] und [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{4}x-1}{(x^{2}+4)^{2}} dx}
[/mm]
bekomme ich allerdings nicht gelöst. Das ist eigentlich mein Problem 
Wie kann ich diese lösen?
Moritz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 17.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Drno
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x^{3}-1}{x(x^{2}+4)^{2}} dx}[/mm] liefert
> mit der Partialbruchzerlegung (wenn ich mich nicht
> verrechnet habe):
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{-\bruch{1}{16}}{x} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{16}x+1}{x^{2}+4} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{4}x-1}{(x^{2}+4)^{2}} dx}[/mm]
>
> wobei das 1. Integral [mm]-\bruch{1}{16}[/mm] ln(x) ist.
> Die Integrale
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{16}x+1}{x^{2}+4} dx}[/mm] und
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{1}{4}x-1}{(x^{2}+4)^{2}} dx}[/mm]
>
> bekomme ich allerdings nicht gelöst. Das ist eigentlich
> mein Problem
1. den Nenner durch Substitution auf die Form [mm] (1+y^2)^{n} [/mm] bringen.
2. [mm] \bruch {y}{(1+y^2)^{n} } [/mm] und [mm] \bruch {1}{(1+y^2)^{n} } [/mm] einzeln berechnen.
Dabei :$ [mm] \integral{ \bruch {y}{(1+y^2)^{n} } dy}=-1/2(n-1)* \bruch {1}{(1+y^2)^{n-1} }$
[/mm]
und [mm] $\integral{ \bruch {1}{(1+y^2)^{n} } dy}= \bruch {y}{2*(n-1)-(1+y^2)^{n-1} } +\bruch{2n-3}{2m-2}*\integral{ \bruch {1}{(1+y^2)^{n-1} }dy}$ [/mm] und so weiter bis n=1
[mm] $\integral{ \bruch {1}{(1+y^2) } dy}=arc [/mm] tan(y)$
Wenn du komplexe Lösungen hast mit [mm] $x=a\pm b*\wurzel{-1}$
[/mm]
schreibst du statt $ [mm] x^2+px+q=(x-a)^2+b^2$ [/mm] und substituierst wieder zu [mm] 1+y^{2}
[/mm]
Ich hoff damit kommst du zurecht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Drno |
Danke, ich werde es mal probieren, allerdings ist das echt nicht gerade einfach.
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