Raum der abbrechenden Folgen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Di 20.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und [mm] V:={(x_{1}, x_{2}, ...)\in K^{\IN} | \exists m \in \IN: a_{n}=0 für alle n \ge m}.
[/mm]
V heißt Raum der abberechnenden Folgen mit Werten in K.
a) Zeigen Sie, dass V ein Untervektorraum von [mm] K^{\IN} [/mm] ist.
b) Für i [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] x^{(i)}:=(0,...0,1,0,0,...) \in [/mm] in V, wobei die 1 an Position i steht. Zeigen Sie, dass [mm] (x^{(1)}, x^{(2)}, [/mm] ...) eine Basis von V ist.
c) Zeigen Sie, dass V nicht endlich erzeugt ist. |
Hallo,
zu a)
Ich muss ja zeigen, dass der Untervektorraum nicht leer ist, also am besten den Nullvektor enthält. Des Weiteren muss ich doch zeigen, dass wenn x [mm] \in [/mm] U und y [mm] \in [/mm] U, dann auch x+y [mm] \in [/mm] in U und das ganze noch mit der Skalarmutiplikation.
Wie mache ich das denn am besten?
zu b):
Basis heißt: linear unabhängiges Erzeugendensystem. Zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, ist kein Problem. Aber wie zeige ich, dass ein Erzeugendensystem vorliegt?
zu c):
Da habe ich gar keinen Ansatz und wäre über jede Hilfe dankbar.
Wieder einmal ein Dankeschön.
Grüße kiri
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Hallo,
ich sitze gerade an der selben Aufgabe, kann dir von daher folgende Ideen geben:
zu a):
Überlege dir, wie Elemente aus V aussehen können, und was dann passiert, wenn man zwei Elemente addiert.
Bezgl. Skalarmultiplikation: Überlege, was passiert, wenn man eine Element aus V mit einem Skalar multipliziert. (Fallunterscheidung Skalar = 0, und Skalar != 0 habe ich dazu noch gemacht)
zu b): Wie viele unabhängige Vektoren hast du; wie viele Elemente hat V? Wenn du das weißt bist du eigentlich fertig.
Bei c) hab ich leider auch noch gar keinen Ansatz ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 20.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
"zu b): Wie viele unabhängige Vektoren hast du; wie viele Elemente hat V? Wenn du das weißt bist du eigentlich fertig. "
Naja, es sind gleich viele, oder? Aber wie arbeite ich damit?
Grüße kiri
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> "zu b): Wie viele unabhängige Vektoren hast du; wie viele
> Elemente hat V? Wenn du das weißt bist du eigentlich
> fertig. "
>
> Naja, es sind gleich viele, oder? Aber wie arbeite ich
> damit?
Hallo,
den obigen Tip finde ich auch nicht so ganz gesegnet...
Für Basis mußt Du ja zeigen: linear unabhängig und Erzeugendensystem.
Zur linearen Unabhängigkeit:
Hier haben wir ein kleines Problem, denn die zu betrachtende Menge ist nicht endlich.
Ich kenne Eure genaue Defininition der lin. Unabhängigkeit nicht.
Mit meiner würde ich nun zeigen müssen, daß für beliebiges [mm] n\in \IN [/mm] aus [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_ix^{(i)}=Nullfolge [/mm] folgt, daß [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle i=1,2,...,n.
Dann wüßte ich, daß jede endliche Teilmenge der [mm] (x^{(i)}| i\in \IN) [/mm] linear unabhängig ist, also [mm] (x^{(i)}| i\in \IN) [/mm] linear unabhängig.
Zum Erzeugendensystem: Nimm Dir eine Folge [mm] (a_n)=(a_1,a_2, a_3,....) [/mm] aus V.
Du weißt, daß es einen Index N gibt, ab welchem alle Folgenglieder =0 sind.
Nun zeige, wie Du diese Folge als Linearkombination der [mm] x_i [/mm] darstellen kannst.
zu c) Nehmt an, daß V ein endliches Erzeugendensystem hat, und findet eine Folge aus V, die man mit diesem nicht darstellen kann.
Gruß . Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Mi 21.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ich danke dir wieder mal. Ich denke, ich habe es hinbekommen. :)
Grüße kiri
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