Raumwinkel berechnen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mi 04.02.2015 | | Autor: | senmeis |
Hi,
ein Raumwinkel kann mit drei aus einem Ursprung stammenden Vektoren bestimmt werden. Also v1, v2 und v3 sind drei 3x1 Vektoren. Wie wird der Raumwinkel in Matlab berechnet?
Gruss
Senmeis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 04.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> ein Raumwinkel kann mit drei aus einem Ursprung stammenden
> Vektoren bestimmt werden.
Das kenne ich aber ganz anders:
http://de.wikipedia.org/wiki/Steradiant
FRED
> Also v1, v2 und v3 sind drei 3x1
> Vektoren. Wie wird der Raumwinkel in Matlab berechnet?
>
> Gruss
> Senmeis
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Di 18.10.2022 | | Autor: | Eisfisch |
offenbar gibt es kein/e eine/s routine oder kommando, mit dem es geht.
a) man müsste wohl über die vektorrechnung gehen (((
Richtungsvektoren-Formel
Sind die Vektoren r → 1 , r → 2 , r → 3 [mm] {\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3}} {\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3}} [/mm] Richtungsvektoren der Geraden P 0 P 1 ¯ , P 0 P 2 ¯ , P 0 P 3 ¯ [mm] {\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}},{\overline {P_{0}P_{2}}},{\overline {P_{0}P_{3}}}} {\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}},{\overline {P_{0}P_{2}}},{\overline {P_{0}P_{3}}}}, [/mm] so gilt für den Raumwinkel
Ω = 2 arctan ( ( r → 1 , r → 2 , r → 3 ) | r → 1 | ⋅ | r → 2 | ⋅ | r → 3 | + ( r → 1 ⋅ r → 2 ) ⋅ | r → 3 | + ( r → 1 ⋅ r → 3 ) ⋅ | r → 2 | + ( r → 2 ⋅ r → 3 ) ⋅ | r → 1 | ) [mm] {\displaystyle \Omega =2\arctan \left({\frac {({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}{|{\vec {r}}_{1}|\cdot |{\vec {r}}_{2}|\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{2}|+({\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{1}|}}\right)} {\displaystyle \Omega =2\arctan \left({\frac {({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}{|{\vec {r}}_{1}|\cdot |{\vec {r}}_{2}|\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{2}|+({\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{1}|}}\right)}.
[/mm]
Dabei ist ( r → 1 , r → 2 , r → 3 ) [mm] {\displaystyle ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})} {\displaystyle ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})} [/mm] das Spatprodukt der Vektoren r → 1 [mm] {\displaystyle {\vec {r}}_{1}} {\vec {r}}_{1}, [/mm] r → 2 [mm] {\displaystyle {\vec {r}}_{2}} \vec r_2 [/mm] und r → 3 [mm] {\displaystyle {\vec {r}}_{3}} {\displaystyle {\vec {r}}_{3}}, [/mm] ( r → 1 ⋅ r → 2 ) [mm] {\displaystyle ({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})} {\displaystyle ({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})} [/mm] ist das Skalarprodukt und | r → 1 | [mm] {\displaystyle |{\vec {r}}_{1}|} {\displaystyle |{\vec {r}}_{1}|} [/mm] ist die Länge des Vektors.
Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee[3] angegeben und bewiesen. ) wikipedia)) oder
b) evtl.lässt sich das skript http://cda.psych.uiuc.edu/matlab_class/html/5Toolbox/solid_angle2.html nutzen,
SOLID_ANGLE2 - Solid angle of a viewed triangle
function sangle = solid_angle2(r,r1,r2,r3)
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Der Raumwinkel W lässt sich ganz leicht aus den drei Winkeln [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] zwischen den drei Vektoren errechnen:
[mm] W=\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] - [mm] \pi.
[/mm]
Dabei sind [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] im Bogenmaß anzugeben. Der gesamte Raum hat dabei den Winkel [mm] 4\pi.
[/mm]
Siehe hierzu
https://de.wikipedia.org/wiki/Kugeldreieck.
Die im Bild eingezeichneten Winkel sind auch genau die zwischen den Vektoren zu den Ecken.
Beispiel:
Im rechtwinkligen 3-D-Koordinatensystem zerlegen die x-y-, die x-z- und die y-z-Ebenen den Raum in 8 winkelmäßig gleichgroße Gebiete. Jedes davon hat also 1/8 des gesamten Raumwinkels von [mm] 4\pi, [/mm] also [mm] \pi/2.
[/mm]
Die Formel ergibt für einen Raum mit drei rechten Winkeln ebenfalls [mm] \pi/2+\pi/2+\pi/2-\pi=\pi/2.
[/mm]
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> Der Raumwinkel W lässt sich ganz leicht aus den drei
> Winkeln [mm]\alpha, \beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] zwischen den drei Vektoren
> errechnen:
>
> [mm]W=\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma[/mm] - [mm]\pi.[/mm]
>
> Dabei sind [mm]\alpha, \beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] im Bogenmaß anzugeben.
> Der gesamte Raum hat dabei den Winkel [mm]4\pi.[/mm]
Hallo HJK
Die Winkel, die du mit [mm]\alpha, \beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] bezeichnest, sind aber
wohl nicht diejenigen, die der Fragesteller gemeint hat.
In der Terminologie der sphärischen Trigonometrie waren
dies wohl die "Seiten" a,b,c des Kugeldreiecks.
Um aus diesen die Winkel [mm]\alpha, \beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] zu berechnen, müsste
man also zuerst die notwendigen Umrechnungen vornehmen.
Im Spezialfall des dreifach-rechtwinkligen Kugeldreiecks macht
es allerdings nichts aus, wenn man die "Seiten" und die "Winkel"
verwechselt ...
LG , Al
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Hallo Al,
du hast völlig Recht, ich habe den Fehler auch schon gemerkt, aber noch keine Zeit gefunden, ihn zu korrigieren.
Also: Gegeben sind 3 Vektoren [mm] \vec{u}, \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w}, [/mm] die gemeinsam eine Raumecke aufspannen, deren Raumwinkel bestimmt werden soll.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die 3 Vektoren dürfen - anders als im Bild - verschieden lang sein.
Zunächst bestimmt man mit Hilfe des Skalarprodukts die Winkel a, b und c zwischen jeweils zwei der Vektoren, z.B.
cos(a) = [mm] \bruch{\vec{u}*\vec{v}}{|\vec{u}|*|\vec{v}|}.
[/mm]
IM BOGENMAß (!) entsprechen diese Winkel genau den Seitenlängen a, b und c des dazugehörenden Dreiecks auf der Einheitskugel (s.Bild, rote Seiten).
Mit Hilfe des Seitenkosinussatzes lassen sich aus a, b und c die Winkel [mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] der Ecken dieses Kugeldreiecks ermitteln:
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{cos(a)-cos(b)cos(c)}{sin(b)sin(c)}, cos(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{cos(b)-cos(a)cos(c)}{sin(a)sin(c)}, cos(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{cos(c)-cos(a)cos(b)}{sin(a)sin(b)}.
[/mm]
Der Raumwinkel beträgt dann W = [mm] \alpha+\beta+\gamma-\pi, [/mm] der Winkel des gesamten Raums [mm] 4\pi.
[/mm]
Beispiel:
[mm] \vec{u}=\vektor{1 \\ 0\\ 0}, \vec{v}=\vektor{3 \\ 4\\ 0}, \vec{w}=\vektor{3 \\ 0\\ 4}.
[/mm]
Dann ist cos(a)=3/5, cos(b) = 3/5, cos(c) = 9/25. Daraus ergibt sich sin(a) = 4/5, sin(b) = 4/5, sin(c) = [mm] \wurzel{0,8704}
[/mm]
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{cos(a)-cos(b)cos(c)}{sin(b)sin(c)} [/mm] = [mm] \bruch{3/5-3/5*9/25}{4/5*\wurzel{0,8704}} [/mm] = 0,51449575... [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] = 59,036...° = 1,03037682...,
[mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha, [/mm]
[mm] cos(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{cos(c)-cos(a)cos(b)}{sin(a)sin(b)} [/mm] = [mm] \bruch{9/25-3/5*3/5}{4/5*4/5} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \gamma [/mm] = 90° = [mm] \pi/2.
[/mm]
W = [mm] \alpha+\beta+\gamma-\pi \approx [/mm] 0,49 [mm] \approx [/mm] 3,9 % des gesamten Raumwinkels.
Mit dem Excel-Anhang kannst du beliebige Rechnungen durchführen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: xlsx) [nicht öffentlich]
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