Real-, Imaginärteil, Betrag < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z=x+iy mit x,y [mm] \in [/mm] R und geben Sie den Betrag an:
-> z = [mm] \overline{2-i}*(4i-1) [/mm] |
Hallo,
ich habe gerechnet
= [mm] (\overline{2}-\overline{i})*(4i-1)=(2+i)*(4i-1)=-6+5i
[/mm]
Re(z)=-6 Im(z)=5 [mm] |z|=\wurzel{61}
[/mm]
Ich würde gerne wissen wollen, ob das so richtig ist.
Und außerdem frage ich mich, warum eigentlich [mm] \overline{2} [/mm] nicht -2 ist? Bzw. warum man dann bei den komplexen Zahlen das Vorzeichen ändert.
Vielen Dank und Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Timsge |
Hey!
Also dein Realteil, Imaginärteil und dein errechneter Betrag scheinen korrekt zu sein, ich komme zumindest auf das gleiche Ergebnis.
Deine Zweite frage kann ich jedoch auch nicht beantworten, da ich da genau so denke wie du, es bisher jedoch stur nach Regel gemacht habe ohne zu fragen. ;)
Gruß Timo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 08.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | | 2.Aufg.: z = 3e [mm] ^{i*\bruch{3\pi}{2}} [/mm] |
Ok, und wie ist das dann hier?
Kann man das dann schreiben als r [mm] ^{\bruch{3\pi}{2}}*(cos(\bruch{3\pi}{2}*\alpha) [/mm] + i * sin [mm] (\bruch{3\pi}{2} [/mm] * [mm] \alpha)
[/mm]
Nur leider weiß ich auch hier nicht weiter.
Wie kann man das ganze noch verinfachen?
Gruß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Sa 08.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die konjugiert komplexe Zahl ist so definiert, dass [mm] z*\overline{z}=|z|^2
[/mm]
wenn man einfach Imaginaer UND REALTEIL das entgegengesetzte Vorzeichen gibt schreibt man -z. Warum sollte man dafuer ein neues Wort erfinden?
Wenn du dir die Komplexen Zahlen in der komplexen Ebene vorstellst (was du unbedingt solltest!)
ist [mm] \overline{z} [/mm] das an der reellen Achse gespiegelte z deshalb ist auch [mm] z+\overline{z}=2*Re(z)
[/mm]
Wenn du dir die Zahlen so aufzeichnes, siehtst du direkt dass zu [mm] \phi=3/2\pi [/mm] das entspricht [mm] 270^o [/mm] die negative y Achse gehoert. also ist die Zahl [mm] e^{i*3/2*\pi}=-i
[/mm]
der Betrag deiner Zahl ist 3! das r hat da nichs zu suchen, bzw. r=3
[mm] e^{i*\phi}=cos(\phi)+i*sin(\phi) [/mm] kannst du als Definition der komplexen e- fkt (fuer reelle [mm] \phi) [/mm] auffassen.
d.h. alle Punkte liegen auf dem Einheitskreis!
Versuch mal ne Weile wirklich jede komplexe Zahl in der komplexen Ebene zu skizzieren.
wie man Zeiger darin addiert ist hoffentlich klar, multipliziern heisst die Laengen werden multipliziert, die Winkel addiert. Dividieren dan umgekehrt. So verschaffst du dir einen viel besseren Ueberblick, was du tust!
(uebrigens, dien formel koenntstdu, soweit sie richtig ist dadurch vereinfachen, dass du die cos und sin Werte ausrechnest!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:51 So 09.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Ok,
heißt es dann dass [mm] e^{i*\bruch{3\pi}{2}} [/mm] = -i oder nur [mm] {i*\bruch{3\pi}{2}} [/mm] = -i ?
Und dann würde ich noch gerne wissen, wie man die komplexen Zahlen im Koordinatensystem mit Hilfe von [mm] e^{i*\bruch{3\pi}{2}} [/mm] zeichnen kann. Ist das dann z=111,3 ???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:06 So 09.11.2008 | | Autor: | nina1 |
Ist die Lösung dann
z= -3i ?
Re(z)=0 Im(z)= -3 |z|=3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:20 So 09.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | | 3.Aufg.: [mm] (\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{15} [/mm] |
Es wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob das hier unten so richtig ist:
z = [mm] \bruch{(1+i)^{15}}{(\wurzel{2}^{15})} [/mm] => nach ausrechnen erhält man dann [mm] \bruch{-128i+128}{128*\wurzel{2}} [/mm] und das ist = -i
Demnach ist Re(z)=0 Im(z)=-1 |z|=1
Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:27 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
-i als Ergebnis ist richtig, aber
$ [mm] \bruch{-128i+128}{128\cdot{}\wurzel{2}} [/mm] $ ist falsch!
wie hast du das denn gerechnet?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
eigentlich musst du sehen, dass [mm] 3\pi/2*i [/mm] nicht -i sein kann.
Nochmal: alle Zahlen [mm] z=e^{i*\phi} [/mm] liegen auf dem Kreis mit dem Radius 1 um 0. phi gibt den Winkel an von der pos x Achse aus gerechnet gegen den Uhrzeigersinn.
Da du wahrscheinlich noch nicht gewoehnt bist in bogenmass zu rechnen: [mm] \pi/2 =90^o
[/mm]
du rechnest winkel im bogenmass um indem du das Bogenmass mit [mm] 180/\pi [/mm] multiplizierst. 1 im Bogenmass ist also 57,..^o
[mm] e^{i*3\pi/2}=-i
[/mm]
du zeichnest es also bei der -1 auf der neg, y-achse ein.
3+4i liegt da, wo du den Punkt (3,4) einzeichnest. also zeichnet man fuer z=3+4i den Pfeil von 0 bis zum Punkt (3,4)
[mm] 3*e^{i*\pi/6} [/mm] ein Pfeil der laenge 3 unter dem Winkel [mm] 60^0 [/mm] zur x- Achse.
Wirds langsam klarer?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Fabrizio |
hey, sehe ich das jetzt total falsch oder müsste der Im(z) nicht = 7 sein ?
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:32 So 09.11.2008 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | 4.Aufg.:
z = [mm] \bruch{i}{i^{5}-i^{7}} [/mm] |
...kommt dann hier zufällig [mm] \bruch{1}{i^{4}-i^{6}} [/mm] und wenn man die i ersetzt 1/2 raus?
Re(z)=1/2 Im(z)=0 |z|=1/2
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo nina!
Ich weiß jetzt nicht, was du mit "i ersetzen" meinst ...aber das Ergebnis [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ist richtig.
Gruß
Loddar
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