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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mi 14.05.2008 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | Gegeben sind die Potenzreihen
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} x^k [/mm] $ und [mm] \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^k
[/mm]
Diese konvergieren absolut für $ |x|<1 $ gegen
[mm] $f(x):=\frac{1}{1-x}$, $g(x):=\frac{1}{1+x}$
[/mm]
Bestimmen Sie diejenige Potenzreihe, welche gegen [mm] $f\cdot [/mm] g$ konvergiert.
Begründen Sie Ihre Lösung und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten dieser Potenzreihe. |
Hi Leute,
zuvor sollte man auch f+g und f-g bestimmen. Das ging jedoch ganz gut nur bei c) hänge ich jetzt fest.
Ich denke man muss hier mit dem Cauchy-Produkt arbeiten aber ich bzw wir kommen auf keinen grünen Zweig. Unser Übungsleiter hatte damit auch seine Probleme.
Vielleicht habt ihr ein paar tipps.
lg George
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> Gegeben sind die Potenzreihen
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} x^k[/mm] und [mm]\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^k[/mm]
>
> Diese konvergieren absolut für [mm]|x|<1[/mm] gegen
>
> [mm]f(x):=\frac{1}{1-x}[/mm], [mm]g(x):=\frac{1}{1+x}[/mm]
>
> Bestimmen Sie diejenige Potenzreihe, welche gegen [mm]f\cdot g[/mm]
> konvergiert.
> Begründen Sie Ihre Lösung und untersuchen Sie das
> Konvergenzverhalten dieser Potenzreihe.
> Hi Leute,
>
> zuvor sollte man auch f+g und f-g bestimmen. Das ging
> jedoch ganz gut nur bei c) hänge ich jetzt fest.
>
> Ich denke man muss hier mit dem Cauchy-Produkt arbeiten
> aber ich bzw wir kommen auf keinen grünen Zweig.
Es gibt natürlich den einfacheren Weg:
[mm]f(x)\cdot g(x)=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-x^2}=\sum_{k=0}^\infty(x^2)^k=\sum_{k=0}^\infty x^{2k}[/mm]
> Unser Übungsleiter hatte damit auch seine Probleme.
Der hat sich mit euch doch wohl nur einen kleinen Scherz erlaubt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mi 14.05.2008 | | Autor: | crashby |
Hmm das möchte er so nicht hören.
Wir sollen über die Reihen zum Grenzwert kommen. Den anderen Weg dürfen wir nicht gehen :).
lg George
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hmm das möchte er so nicht hören.
>
> Wir sollen über die Reihen zum Grenzwert kommen. Den
> anderen Weg dürfen wir nicht gehen :).
Dürfen nicht? Ist das glaubhaft: wenn eine Funktion sich in eine Potenzreihe entwickeln lässt, dann ist diese Entwicklung auch eindeutig.
Aber bitte: dann ist das Produkt der beiden Reihen eine Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_k x^k$, [/mm] wobei [mm] $c_k=\sum_{i=0}^k 1^i (-1)^{k-i}=\sum_{i=0}^k(-1)^i$.
[/mm]
Dies hat zur Folge, dass
[mm]c_k=\begin{cases}1 &\text{(k gerade)}\\
0 &\text{(k ungerade)}\end{cases}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mi 14.05.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
oki das schau ich mir mal genauer an.
Vielen Dank erstmal für die Antworten.
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