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| Aufgabe | Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender Zahlen und skizzieren Sie diese in der Gauß’schen Zahlenebene:
a) [mm] (1-3i)*\overline{2+i}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1-i}{1+i}
[/mm]
c) [mm] (2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}
[/mm]
d) [mm] (\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17} [/mm] |
a)
[mm] (1-3i)*\overline{2+i}=(1-3i)*(2-i)=2-i-6i-3=-1-7i
[/mm]
b)
[mm] \bruch{1-i}{1+i}=\bruch{1-i}{1+i}*\bruch{1-i}{1-i}=\bruch{(1-i)*(1-i)}{(1-i)^2}=1
[/mm]
c)
[mm] (2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] (2+2i)^2=4+8i-4=8i
[/mm]
[mm] \bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}=\bruch{5+2}{i}=\bruch{7}{i}*\bruch{-i}{-i}=-7
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] (2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}=8i-7i=i
[/mm]
Stimmen die Lösungen?
Für d) brauche ich einen Tipp. Mich stört der hohe Exponent. Ich soll den Term bestimmt nicht ausmultiplizieren
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 31.03.2016 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie Real- und Imaginärteil folgender Zahlen und
> skizzieren Sie diese in der Gauß’schen Zahlenebene:
>
> a) [mm](1-3i)*\overline{2+i}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1-i}{1+i}[/mm]
>
> c) [mm](2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}[/mm]
>
> d) [mm](\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17}[/mm]
> a)
>
> [mm](1-3i)*\overline{2+i}=(1-3i)*(2-i)=2-i-6i-3=-1-7i[/mm]
>
> b)
>
> [mm]\bruch{1-i}{1+i}=\bruch{1-i}{1+i}*\bruch{1-i}{1-i}=\bruch{(1-i)*(1-i)}{(1-i)^2}=1[/mm]
Das ist falsch. Ein Bruch wird nur 1, wenn Zähler und Nenner gleich sind. Das ist hier aber nicht der Fall.
>
> c)
>
> [mm](2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}[/mm]
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm](2+2i)^2=4+8i-4=8i[/mm]
>
> [mm]\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}=\bruch{5+2}{i}=\bruch{7}{i}*\bruch{-i}{-i}=-7[/mm]
Das ist auch falsch. Dieses Teilergebnis darf nicht reell sein.
>
> Daraus folgt:
>
> [mm](2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}=8i-7i=i[/mm]
>
> Stimmen die Lösungen?
>
> Für d) brauche ich einen Tipp. Mich stört der hohe
> Exponent. Ich soll den Term bestimmt nicht
> ausmultiplizieren
Verwende die trigonometrische Form.
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b)
[mm]\bruch{1-i}{1+i}=\bruch{1-i}{1+i}*\bruch{1-i}{1-i}=\bruch{(1-i)*(1-i)}{1-i^2}=\bruch{1-i-i+i^2}{2}=\bruch{-2i}{2}=-i[/mm]
Stimmt die Lösung jetzt?
> > c)
> >
> > [mm](2+2i)^2+\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}[/mm]
> >
> > Nebenrechnung:
> >
> > [mm](2+2i)^2=4+8i-4=8i[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{|\wurzel{5}+i\wurzel{2}|^2}{i}=\bruch{5+2}{i}=\bruch{7}{i}*\bruch{-i}{-i}=-7[/mm]
> Das ist auch falsch. Dieses Teilergebnis darf nicht reell
> sein.
Das ist ein Tippfehler. ich habe das i vergessen. richtig wäre -7i. In der nachfolgenden Rechnung wurde auch mit -7i weiter gerechnet. Also bitte nochmal schauen
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Hallo Rebellismus!
> [mm]\bruch{1-i}{1+i}=\bruch{1-i}{1+i}*\bruch{1-i}{1-i}=\bruch{(1-i)*(1-i)}{1-i^2}=\bruch{1-i-i+i^2}{2}=\bruch{-2i}{2}=-i[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo rebellismus!
> Das ist ein Tippfehler. ich habe das i vergessen. richtig wäre -7i.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In der nachfolgenden Rechnung wurde auch mit -7i weiter gerechnet.
Dann stimmt auch Dein Ergebnis.
Gruß vom
Roadrunner
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Alternatives Vorgehen bei d).
Berechne erst: [mm]\left( \frac{1 + \operatorname{i}}{\sqrt{2}} \right)^2[/mm]. Dann geht es zum Beispiel so weiter:
[mm]a^{17} = \left( \left( a^2 \right)^4 \right)^2 \cdot a[/mm]
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Hallo,
ich habs mit den Polarkoordinaten gelöst:
[mm] (\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17}=(e^{i*\bruch{\pi}{4}})^{17}=e^{i*\bruch{17\pi}{4}}=cos(\bruch{17\pi}{4})+i*sin(\bruch{17\pi}{4})=\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
stimmt die Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 31.03.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> ich habs mit den Polarkoordinaten gelöst:
>
> [mm](\bruch{1+i}{\wurzel{2}})^{17}=(e^{i*\bruch{\pi}{4}})^{17}=e^{i*\bruch{17\pi}{4}}=cos(\bruch{17\pi}{4})+i*sin(\bruch{17\pi}{4})=\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> stimmt die Lösung?
Das sieht gut aus.
Marius
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Hallo.
kann mir einer erklären wieso folgende Gleichung gilt:
[mm] e^{\bruch{i*17\pi}{4}}=e^{\bruch{i*\pi}{4}}
[/mm]
Ich verstehe nicht wie der Term rechts vereinfacht wurde
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Do 31.03.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ja schon gezeigt, dass [mm] e^{i\cdot\frac{17\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
[/mm]
Wenn du [mm] \frac{\sqrt{2}}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] wieder in Polarkoordinaten umwandelst, bekommst du dann [mm] e^{i\cdot\frac{\pi}{4}}
[/mm]
Das liegt an der Periodizität des Sinus' bzw Cosinus'
Marius
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