Rechnen mit unendlich < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Di 22.08.2006 | | Autor: | Maik314 |
Hallo an alle!
Bin zur Zeit etwas verwirrt allgemein in Bezug auf das Auftauchen von unbestimmten Termen bzw unendlich beim Berechnen von Grenzwerten oä.
Ich bin mir durchaus bewusst, dass man mit unendlich nicht rechnen kann aber dass dieses durchaus beim Berechnen von Grenzwerten durch Grenzwertsätze auftreten kann...Allerdings hab ich das Gefühl, irgendwie was falsch verstanden zu haben.
Angenommen ich habe die Funktion f(x)=1/x D(f) = [mm] \IR [/mm] \ {0} und will den zweiseitigen (uneigentlichen) Grenzwert gr und gl berechnen. Das funktioniert meiner Auffassung nach so:
(Das wäre jetzt schon die Substitution x = [mm] x_{0} \pm \delta)
[/mm]
[mm] \limes_{\delta\rightarrow\ 0} (1/\delta) [/mm] = [mm] \limes_{\delta\rightarrow\ 0} [/mm] (1) / [mm] \limes_{\delta\rightarrow\ 0} \delta [/mm] = 1/0
bzw.
[mm] \limes_{\delta\rightarrow\ 0} (-1/\delta) [/mm] = [mm] \limes_{\delta\rightarrow\ 0} [/mm] (-1) / [mm] \limes_{\delta\rightarrow\ 0} \delta [/mm] = -1/0
Das heißt, dass der linkssseitige Grenzwert bei [mm] x_{0} [/mm] = -1/0 und der rechtsseitige 1/0 ist.
Aus dem Graphen ist zu erkennen, dass diese bei [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] sind, also uneigentliche grenzwerte sind.
Mein Problem liegt darin, dass 1/0 doch nun [mm] \infty [/mm] sein müsste..
rein logisch betrachtet ergäbe es ja sinn, denn wird der nenner immer kleiner, wird beim erweitern des bruches, sodass der nenner wieder ganzzahlig wird, der zähler größer, sodass [mm] 1/0=\infty [/mm] durchaus sinn macht
Umgeformt zu [mm] 1/\infty [/mm] = 0 ergibt es immernoch sinn, denn logisch gesehen ist ein unendlich kleiner teil ja nichts.
Aber was wäre zb mit [mm] 0*\infty [/mm] = 1?
Hab ich das überhaupt richtig verstanden, dass man den ausdruck 1/0 unendlich setzen kann? und warum ist es nicht erlaubt, mit unendlich zu rechnen, wenn diese rechnungen irgendwo doch sinn ergeben (in diesem zusammenhang) mal abgesehn irgendwelcher paradoxien...
aber kann mir jemand sagen, warum a/0 nicht definiert sein soll, wenn es doch unendlich zu sein scheint? Bin hier grad ziemlich verwirrt und hoffe, dass mich jemand aufklären kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Di 22.08.2006 | | Autor: | Palin |
> Angenommen ich habe die Funktion f(x)=1/x D(f) = [mm]\IR[/mm] \ {0}
> und will den zweiseitigen (uneigentlichen) Grenzwert gr und
> gl berechnen. Das funktioniert meiner Auffassung nach so:
> (Das wäre jetzt schon die Substitution x = [mm]x_{0} \pm \delta)[/mm]
>
> [mm]\limes_{\delta\rightarrow\ 0} (1/\delta)[/mm] =
> [mm]\limes_{\delta\rightarrow\ 0}[/mm] (1) /
> [mm]\limes_{\delta\rightarrow\ 0} \delta[/mm] = 1/0
> bzw.
> [mm]\limes_{\delta\rightarrow\ 0} (-1/\delta)[/mm] =
> [mm]\limes_{\delta\rightarrow\ 0}[/mm] (-1) /
> [mm]\limes_{\delta\rightarrow\ 0} \delta[/mm] = -1/0
>
> Das heißt, dass der linkssseitige Grenzwert bei [mm]x_{0}[/mm] =
> -1/0 und der rechtsseitige 1/0 ist.
>
> Aus dem Graphen ist zu erkennen, dass diese bei [mm]-\infty[/mm] und
> [mm]+\infty[/mm] sind, also uneigentliche grenzwerte sind.
>
> Mein Problem liegt darin, dass 1/0 doch nun [mm]\infty[/mm] sein
> müsste..
> rein logisch betrachtet ergäbe es ja sinn, denn wird der
> nenner immer kleiner, wird beim erweitern des bruches,
> sodass der nenner wieder ganzzahlig wird, der zähler
> größer, sodass [mm]1/0=\infty[/mm] durchaus sinn macht
>
> Umgeformt zu [mm]1/\infty[/mm] = 0 ergibt es immernoch sinn, denn
> logisch gesehen ist ein unendlich kleiner teil ja nichts.
>
> Aber was wäre zb mit [mm]0*\infty[/mm] = 1?
>
> Hab ich das überhaupt richtig verstanden, dass man den
> ausdruck 1/0 unendlich setzen kann? und warum ist es nicht
> erlaubt, mit unendlich zu rechnen, wenn diese rechnungen
> irgendwo doch sinn ergeben (in diesem zusammenhang) mal
> abgesehn irgendwelcher paradoxien...
>
> aber kann mir jemand sagen, warum a/0 nicht definiert sein
> soll, wenn es doch unendlich zu sein scheint? Bin hier grad
> ziemlich verwirrt und hoffe, dass mich jemand aufklären
> kann
Nun wie du oben selbst festegstelt hast ist lim 1/oo = 0 aber auch lim 1/-oo =0
also habe ich 1/0 = oo oder -oo dementsprächend habe ich keine genaue aussage was 1/0 ist und ich darf 1 einfach nicht durch 0 Teilen.
Der limes ist "einfach" ausgedruckt ein Wert den die Funktion "nie" erreicht.
Meist weil der Wert an der Stelle nicht deffeniert ist oder ich schaue was mit der Funktion passier wenn sie gegen +/-- oo läuft.
z.B f(x)= 1/(x-1)
Bei der Funktion gitb es an der Stelle x=0 keinen Limes da f(0)= -1
Dafür kann man aber den Limes gg 1 bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 22.08.2006 | | Autor: | Maik314 |
Ok,
ich will das aber möglichst exakt richtig verstehen.
Ausdrücke, wie x/0 oder [mm] y/\infty [/mm] sind als solches nicht definiert,
Aber wann exakt kann man sagen, dass beispielsweise x/0 = [mm] \infty [/mm] ist oder dass [mm] y/\pm\infty [/mm] = 0 ist?
Nur, wenn nicht der Term selbst gemeint ist, sondern sein Grenzwert, also gewisser maßen sein theoretischer Wert?
also gälte nur [mm] lim(1/\pm\infty) [/mm] = 0 und nicht [mm] 1/\pm\infty [/mm] = 0?
Wenn ja, dann wäre es ja im prinzip falsch, zu schreiben:
[mm] (x_{0}=0)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] (1) / [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} x_{0} [/mm] = 1/0 = [mm] \infty
[/mm]
sondern müsste direkt schreiben
[mm] \limes_{x\rightarrowx_{0}} [/mm] (1/x) = [mm] \infty
[/mm]
Ist das so exakt oder falsch oder egal?^^
Im Fall 1 würde ja aus dem undefinierten Ausdruck 1/0 = [mm] \infty [/mm] folgen müssen, was ja nicht zulässig ist, im 2. Ausdruck dagegen folt aus dem limes 1/x (1/0) der uneigentliche grenzwert [mm] \infty
[/mm]
Und unabhängig davon, dass die grenzwerte lim x/0 = [mm] \infty [/mm] und lim [mm] a/\infty [/mm] = 0 sind, was logisch nachvollziehbar ist, was ist denn dann mit lim [mm] 0*\infty [/mm] = 1? das ist nicht nachvollziehbar, aber leitet sich doch aus den anderen beiden ab oder?
Das wärs erstma von meiner seite, großes THX erstma für die schnelle Antwort, ich hoffe, der Rest kann auch noch geklärt werden :)
MFG
Maik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 22.08.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Maik,
dann geb ich doch auch mal meinen Senf dazu:
> Ok,
> ich will das aber möglichst exakt richtig verstehen.
> Ausdrücke, wie x/0 oder [mm]y/\infty[/mm] sind als solches nicht
> definiert,
>
> Aber wann exakt kann man sagen, dass beispielsweise x/0 =
> [mm]\infty[/mm] ist oder dass [mm]y/\pm\infty[/mm] = 0 ist?
> Nur, wenn nicht der Term selbst gemeint ist, sondern sein
> Grenzwert, also gewisser maßen sein theoretischer Wert?
So kann man das sagen. Der Knackpunkt ist denke ich, dass [mm] \infty [/mm] keine echte (reelle) "Zahl" ist. Daher macht es erstmal auch keinen Sinn, diese in irgendwelchen Termen zu verwenden. [mm] +\infty [/mm] steht einfach für "wird größer als jede reelle Zahl", [mm] -\infty [/mm] bedeutet entsprechend "wird kleiner als jede reelle Zahl". Von diesem Standpunkt aus bezeichnet "unendlich" also einen Vorgang und keinen Zustand.
> also gälte nur [mm]lim(1/\pm\infty)[/mm] = 0 und nicht [mm]1/\pm\infty[/mm]
> = 0?
Auch das erste kann man streng genommen so nicht schreiben, denn da steckt ja auch keine Grenzwertbildung drin (was bewegt sich gegen was?).
Richtig wäre [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty}\bruch{1}{x}=0[/mm]. Anders ausgedrückt für [mm] +\infty: [/mm] wenn x beliebig groß wird, dann nähert sich [mm] \bruch{1}{x} [/mm] beliebig dicht an 0 an.
> Wenn ja, dann wäre es ja im prinzip falsch, zu schreiben:
> [mm](x_{0}=0)[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] (1) / [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} x_{0}[/mm]
> = 1/0 = [mm]\infty[/mm]
Sehr richtig!
> sondern müsste direkt schreiben
> [mm]\limes_{x\rightarrowx_{0}}[/mm] (1/x) = [mm]\infty[/mm]
...wenn Du den rechtsseitigen Grenzwert betrachtest (der linksseitige ist ja immer noch [mm] -\infty).
[/mm]
>
> Ist das so exakt oder falsch oder egal?^^
>
> Im Fall 1 würde ja aus dem undefinierten Ausdruck 1/0 =
> [mm]\infty[/mm] folgen müssen, was ja nicht zulässig ist, im 2.
> Ausdruck dagegen folt aus dem limes 1/x (1/0) der
> uneigentliche grenzwert [mm]\infty[/mm]
Genauer: der rechtsseitige Grenzwert. Einen "Grenzwert" an sich (eigentlich oder uneigentlich) gibt es in diesem Fall nicht, da ja linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen.
>
> Und unabhängig davon, dass die grenzwerte lim x/0 = [mm]\infty[/mm]
...oder [mm] -\intfy
[/mm]
> und lim [mm]a/\infty[/mm] = 0 sind, was logisch nachvollziehbar ist,
> was ist denn dann mit lim [mm]0*\infty[/mm] = 1? das ist nicht
> nachvollziehbar, aber leitet sich doch aus den anderen
> beiden ab oder?
>
Wie leitet sich das aus den beiden anderen ab ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") - da bin ich jetzt überfordert.
Aber du hast recht, dass es nicht nachvollziehbar ist, es trifft so ja auch nicht zu.
Schauen wir uns mal die folgenden Produkte an:
1. [mm]\bruch{1}{x} \cdot x^2[/mm]
2. [mm]\bruch{1}{x^2} \cdot x[/mm]
3. [mm]\bruch{1}{x} \cdot ax[/mm]
Für [mm] x\rightarrow0+0 [/mm] (also von rechts) geht immer der erste Faktor gegen [mm] \infty, [/mm] der zweite Faktor immer gegen 0. Für das Produkt hat man aber verschiedene Grenzwerte:
1. 0
2. [mm] \infty
[/mm]
3. a
Was ist denn jetzt [mm] 0\cdot\infty [/mm] ????
> Das wärs erstma von meiner seite, großes THX erstma für die
> schnelle Antwort, ich hoffe, der Rest kann auch noch
> geklärt werden :)
>
> MFG
> Maik
>
Ich hoffe damit wird manches klarer....
Gruß
piet
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