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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 So 03.12.2006 | | Autor: | Loon |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Flächeninhalt des größt möglichen Rechtsecks unter dem Graphen der Funktion f(x( = 4x - x² |
Hallo,
wir schreiben morgen eine Klausur in der eine solche Aufgabe drankommen könnte. Ich habe die 11. Klasse im Ausland verbracht und weiß somit nicht genau, wie ich sie lösen muss.
Der Flächeninhalt eines Rechtsecks ist ja A = a [mm] \* [/mm] b
Von Klassenkameraden habe ich gehört, dass sich der Flächeninhalt eines Rechtecks unter der Parabel mit A = x [mm] \* [/mm] f(x) berechnen lässt. F(x) ist klar, das ist ja die Funktion, aber wo kriege ich den x- Wert her?
Anschließend bestimme ich die erste Ableitung und setze sie gleich 0. In einer Übungsaufgabe habe ich egsehen, dass auch die 2. Ableitung bestimmt worden ist. Wozu brauche ich die?
Ich würde mich über Tipps echt freuen!
Loon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 03.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Loon
> Bestimmen Sie den Flächeninhalt des größt möglichen
> Rechtsecks unter dem Graphen der Funktion f(x( = 4x - x²
> Hallo,
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> wir schreiben morgen eine Klausur in der eine solche
> Aufgabe drankommen könnte. Ich habe die 11. Klasse im
> Ausland verbracht und weiß somit nicht genau, wie ich sie
> lösen muss.
>
> Der Flächeninhalt eines Rechtsecks ist ja A = a [mm]\*[/mm] b
> Von Klassenkameraden habe ich gehört, dass sich der
> Flächeninhalt eines Rechtecks unter der Parabel mit A = x
> [mm]\*[/mm] f(x) berechnen lässt. F(x) ist klar, das ist ja die
> Funktion, aber wo kriege ich den x- Wert her?
>
Bis hierher: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") .
Jetzt hast du ja eine Funktion A(x)=x*f(x)=x*(4x-x²)=4x²-x³
Diese gibt dir den Flächeninhalt des Rechtecks an.
Jetzt suchst du hiervon das Maximum.
Also leitest du die Funktion zweimal ab.
A'(x)=8x-3x²
A''(x)=8-6x
Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Extremstellen der Flächenfunktion.
Also:
8x-3x²=0
[mm] \gdw [/mm] (8-3x)x=0
[mm] \Rightarrow x_{e_{1}}=0, x_{e_{2}}=\bruch{8}{3}
[/mm]
Da f''(0)=8>0 ist T(0/f(0)) ein Tiefpunkt, der aber nicht gesucht ist.
[mm] f''(\bruch{8}{3})=-8\red{<}0 [/mm] ist [mm] H(\bruch{8}{3}/f(\bruch{8}{3}) [/mm] der gesuchte Hochpunkt der Fläche.
Ach ja. [mm] f(\bruch{8}{3}) [/mm] zu berechnen, überlasse ich dir.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 03.12.2006 | | Autor: | Loon |
Erstmal vielen vielen Dank!
So laaangsam beginne ich diese Aufgabe zu verstehen.
Allerdings weiß ich noch nicht ganz, wieso ich den HOchpunkt bestimmen muss. Ich dachte, dass der Flächeninhalt des Rechtecks gesucht ist, und wie kann der einen Hochpunk haben?
Speziell für diese Aufgabe habe ich ja nun den Hochpunkt. Bin ich jetzt fertig oder muss ich noch etwas machen?
Loon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 03.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du suchst ja das Rechteck mit dem Grössten Flächeninhalt unter der angegebenen Parabel.
Die Fläche kannst du ja mit der Funktion A(x) berechnen. Jetzt soll diese Fläche ja grösstmöglich werden. Also suchst du den Hochpunkt genau dieser Funktion. Die y-Koordinate, gibt dir dann genau diese grösste Fläche an. Die x-Koordinate gibt dir an, für welches x diese Maximale Fläche erreicht wird.
jetzt klarer?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 So 03.12.2006 | | Autor: | Loon |
Entschuldigung, dass ich nochmal nachfrage, aber ganz klar ist es mir noch nicht.
Ich habe für den Hochpunkt jetzt ( [mm] \bruch{8}{3} [/mm] / [mm] \bruch{32}{9} [/mm] ) ausgerechnet. Ist der Flächeninhalt nun [mm] \bruch{32}{9} [/mm] and der Stelle [mm] \bruch{8}{3} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 03.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Entschuldigung, dass ich nochmal nachfrage, aber ganz klar
> ist es mir noch nicht.
>
> Ich habe für den Hochpunkt jetzt ( [mm]\bruch{8}{3}[/mm] /
> [mm]\bruch{32}{9}[/mm] ) ausgerechnet. Ist der Flächeninhalt nun
> [mm]\bruch{32}{9}[/mm] and der Stelle [mm]\bruch{8}{3}[/mm] ?
Yep,
Der maximale Flächeninhalt A beträgt [mm] \bruch{32}{9} [/mm] Flächeneinheiten und wird an der Stelle [mm] x=\bruch{8}{3} [/mm] erreicht.
In etwa so würde ich die Antwort formulieren.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 So 03.12.2006 | | Autor: | Loon |
Daaaaanke! 
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