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| Aufgabe | Es sei [mm] (x_{n})_{n} [/mm] eine reelle Folge mit Grenzwert x und k [mm] \to n_{k} [/mm] eine injektive Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN.
[/mm]
1. Zeigen Sie, dass für alle N [mm] \in \IN [/mm] ein K [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass [mm] n_{k} \ge [/mm] N für alle k [mm] \ge [/mm] K.
2. Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (x_{n_{k}})_{k} [/mm] ebenfalls gegen x konvergiert. |
Leider verstehe ich noch nicht mal, was mir erstens sagen soll.
vllt kann mir jemand erklären, was das bedeuten.
dann fällts vllt auch mit dem beweisen leichter.
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Hallo!
> Es sei [mm](x_{n})_{n}[/mm] eine reelle Folge mit Grenzwert x und k
> [mm]\to n_{k}[/mm] eine injektive Abbildung von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN.[/mm]
> 1. Zeigen Sie, dass für alle N [mm]\in \IN[/mm] ein K [mm]\in \IN[/mm]
> existiert, sodass [mm]n_{k} \ge[/mm] N für alle k [mm]\ge[/mm] K.
> 2. Zeigen Sie, dass die Folge [mm](x_{n_{k}})_{k}[/mm] ebenfalls
> gegen x konvergiert.
> Leider verstehe ich noch nicht mal, was mir erstens sagen
> soll.
> vllt kann mir jemand erklären, was das bedeuten.
> dann fällts vllt auch mit dem beweisen leichter.
Du verstehst ja die Aussage, dass [mm] $n_{k}:\IN\to\IN$ [/mm] eine injektive Abbildung sein soll. Gewissermaßen handelt es sich bei [mm] (a_{n_{k}})_{k\in\IN} [/mm] nur um eine Teilfolge von [mm] (a_{n})_{n\in\IN}, [/mm] allerdings kann es passieren, dass bei dieser Teilfolge das 10. Glied von [mm] a_{n} [/mm] als erstes kommt, dann das 1000., dann das 1., und vielleicht taucht das 25. Glied von [mm] a_{n} [/mm] gar nicht in der Teilfolge [mm] a_{n_{k}} [/mm] auf. Das solltest du dir bewusst machen.
Die Aussage 1), die du beweisen sollst, hilft dir dann, die Aussage 2), die der Konvergenz, zu beweisen.
Aussage 1) lautet: "Zeigen Sie, dass für alle N [mm]\in \IN[/mm] ein K [mm]\in \IN[/mm] existiert, sodass [mm]n_{k} \ge[/mm] N für alle k [mm]\ge[/mm] K."
Es geht bei dieser Aussage darum: [mm] n_{k} [/mm] liefert ja den Index der Folge [mm] a_{n}. [/mm] Wenn du dir nun einen bestimmten Index der Folge [mm] a_{n} [/mm] auswählst, zum Beispiel den Index N (d.h. eigentlich suchst du dir das N-te Folgenglied der Folge [mm] a_{n} [/mm] aus), dann soll es auch irgendein K geben, sodass nach [mm] n_{K} [/mm] die injektive Abbildung nur noch Indizes der Folge [mm] a_{n} [/mm] ausspuckt, die größer als N sind.
Ein Beispiel hilft hier glaub ich am meisten:
Stell' dir vor, unsere injektive Abbildung würde so aussehen:
1 -> 5
2 -> 1
3 -> 8
4 -> 3
5 -> 9
6 -> 11
7 -> 4
(und ab hier wird 8,9,... nur noch Zahlen größer als 12 zugewiesen!)
usw. Nun wählst du entsprechend der Aufgabenstellung N = 3. Wir müssen nun zeigen: Es gibt ein K, sodass die Abbildung [mm] n_{k} [/mm] für alle k [mm] \ge [/mm] K nur noch Werte größergleich als 3 ausspuckt [mm] (n_{k}\ge [/mm] N).
Und wir können an der obigen Abbildung sehen: Ja, so ein K gibt es, und zwar ist K = 4. Denn ab K = 4 ist jedes Bild der Abbildung [mm] n_{k} [/mm] größergleich 3.
Wir könnten auch N = 11 wählen. Dann gibt es auch so ein K, sodass die Abbildung [mm] n_{k} [/mm] für alle k > K nur noch Werte größergleich als 11 ausspuckt, nämlich hier in unserem Fall ist K = 8 (nach meiner Definition oben). Denn ab K = 8 ist jedes Bild der Abbildung [mm] n_{k} [/mm] größergleich 11.
Das sollst du nun allgemein für jede injektive Abbildung nachweisen.
Grüße,
Stefan
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