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Erst einmal die Aufgabe:
Für [mm] x\in\IR [/mm] sei [mm] [x]:=max{z\in\IZ : z\lex} [/mm] die größte ganze Zahl, die nicht größer als x ist. Man zeige, dass die durch [mm] f(x):=[x]+\wurzel{x-[x]} [/mm] definierte reelle Funktion
a) streng monoton wächst und
b) bijektiv ist.
Hallöchen!
Ich habe folgendes Problem bei dieser Aufgabe:
Ich weiß nicht wie man zeigt, dass eine Funktion streng monoton wachsend ist. Ich habe dazu igendwie keine Definintion gefunden. Und bei Teil b) fehlt mir der Ansatz. Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß Jenny
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> Erst einmal die Aufgabe:
> Für [mm]x\in\IR[/mm] sei [mm][x]:=max{z\in\IZ : z\lex}[/mm] die größte ganze
> Zahl, die nicht größer als x ist. Man zeige, dass die durch
> [mm]f(x):=[x]+\wurzel{x-[x]}[/mm] definierte reelle Funktion
> a) streng monoton wächst und
> b) bijektiv ist.
>
> Hallöchen!
> Ich habe folgendes Problem bei dieser Aufgabe:
> Ich weiß nicht wie man zeigt, dass eine Funktion streng
> monoton wachsend ist. Ich habe dazu igendwie keine
> Definintion gefunden. Und bei Teil b) fehlt mir der
> Ansatz. Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte.
> Gruß Jenny
Hallo Jenny!
Also, wenn mich nicht alles täuscht, bedeutet streng monoton wachsend:
x<y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)<f(x)
Also mit Worten: wenn das x kleiner ist als das y, dann ist auch der Funktionswert von x kleiner als der von y.
Hilft dir das weiter?
Und eine Funktion ist bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Was das bedeutet, findest du hier: injektiv.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo!
Ich hab noch mal ne Frage.
Wenn ich gezeigt habe, dass die Funktion streng monoton wachsend ist, dann kann ich ja dies für den Beweis der Bijektivität benutzen:
Weil die Funktion streng monoton wachsend ist, ist sie auch injektiv.
Wie zeige ich denn jetzt, dass die Funktion auch surjektiv ist?
Gruß Jenny
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f ist stetig, das kann man leicht nachrechnen. Nun sei y beliebig gegeben.
Dann gilt: [y] = f([y]) <= y <= [y+1] = f([y+1]).
Damit gilt, da f stetig auf dem kompakten Intervall [ [y], [y+1] ] ist, muß es ein x aus [ [y], [y+1] ] mit f(x) = y geben.
q.e.d.
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