Reelle Lsg.fundamentalsystem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist ein homogenes lineares System.
Gesucht ist ein reelles Lösungsfundamentalsystem.
x' = [mm] \pmat{ 1 & 0 0 & 1 \\ 1 & 1 1 & -1 \\ -1 & -1 1 & 1 \\ -1 & 0 0 & 1 }x, [/mm] x [mm] \in \IR^{4} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe gelöst, komme aber am Ende auf den Nullvektor, was glaub ich nicht richtig ist. Deshalb wär es schön, wenn sich jemand die meine Lösung anschauen könnte, und mir sagen kann, was ich hier falsch gemacht habe:
Zuerst habe ich das charakt. Polynom [mm] det(A-\lambda [/mm] E) gelöst, und komme nach ein paar Determinatenrechnungen(Entwicklung nach der ersten Zeile empfiehlt sich hier doch, weil durch die 2 Nullen ein paar Rechnungen erspart werden) auf das Polynom 4.Grades:
[mm] \lambda^{4} -4\lambda^{3} [/mm] + 6 [mm] \lambda^{2}-4 \lambda+1
[/mm]
Durch Nullstellenraten komme ich auf den Eigenwert 1.
Nach Polynomdivision komme ich auf das Polynom 3.Grades: [mm] \lambda^{3}-3\lambda^{2}+3\lambda-1 [/mm] mit dem Eigenwert 1
Nach erneuter Polynomdivision erhalte ich die quadr.Gleichung:
[mm] \lambda^{2}-2\lambda+1 [/mm] wieder mit dem Eigenwert 1 als doppelte Nullstelle.
Ich erhalte also nur die Eins als Lösung dieses charakt. Polynoms.
Wenn ich jetzt zum Eigenwert 1 den Eigenvektor bestimme, dann erhalte ich den Nullvektor, was ja irgendwie nicht stimmen kann oder?  :
[mm] \pmat{ 0 & 0 0 & 1 \\ 1 & 0 1 & -1 \\ -1 & -1 0 & 1 \\ -1 & 0 0 & 0 }* \vektor{\alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \\ \alpha_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0} [/mm]
Nach dem Gaußschen Lösungsverfahren erhalte ich den Nullvektor.
Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe?
Danke
Milka
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Milka!
Ich erhalte [mm] $(x^2-2x+2)^2$ [/mm] als charakteristisches Polynom.
Ich schlage vor, zuerst ein komplexes Fundamentalsystem zu bestimmen und aus diesem dann zwei reelle Lösungen linear zu kombinieren.
Schaffst du das?
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo Hanno,
ich hab mich beim 1.Posting verrechnet beim charakt. Polynom. Jetzt habe ich die Aufgabe erneut ausgerechnet, und erhalte:
[mm] det(A-\lambda [/mm] E) = [mm] \vmat{ 1-\lambda & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1-\lambda & 1& -1 \\ -1 & -1 & 1-\lambda & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1-\lambda } [/mm] =(Entw.nach der 1.Zeile)...= [mm] (1-\lambda) \vmat{ 1-\lambda & 1 & -1 \\ -1 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 0& 1-\lambda } [/mm] -1 [mm] \vmat{ 1 & 1-\lambda & 1 \\ -1 & -1 & 1-\lambda \\ -1 & 0 & 0} [/mm] = [mm] (1-\lambda) [(1-\lambda)^{3}+(1-\lambda)]- 1[-(1-\lambda)^{2}-1]=(ausmult.und [/mm] zusammenfassen)...= [mm] \lambda^{4}-4\lambda^{3}+8\lambda^{2}-8\lambda+2
[/mm]
Du hast mir geschrieben, dass du [mm] (\lambda^{2}-2\lambda+2)^{2} [/mm] rausgebracht hast. Das stimmt bei mir nur am Anfang, hinten mit der 2 stimmt schon was nicht... Wenn ich deine Lösung ausmultipliziere erhalte ich: [mm] \lambda^{4}-4\lambda^{3}+8\lambda^{2}-8\lambda+4
[/mm]
Was mach ich falsch?
Gruß, milka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 02.07.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo,
ich hab die Aufgabe in der Zwischenzeit selber lösen können. Damit hat sich meine Frage im 2.Postings erledigt; ich war zu doof beim Determinantenrechnen und hab mich tausendmal verrechnet.
Trotzdem danke. Ich hab vier reelle Vektoren rausbekommen, die sin und cos enthalten.
Gruß, milka
|
|
|
|
