Reellwertige Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Mo 16.11.2009 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] reellwertige Folgen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b, a,b\in\IR
[/mm]
Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
Falls [mm] a_{n}>0, n\in\IN [/mm] dann gilt a>0 |
Guten Abend!!!
Meine Frage ist eigentlich ganz grundsätzlich wie ich daran gehen muss.
Irgendwie scheint mir die Behauptung völlig und logisch, deshalb bin ich verwundert. Wenn ich mir dass so angucke weiß ich einfach nicht wie ich es beweisen soll?!
Vielen Dank für die Tips im Voraus:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Seien [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] reellwertige Folgen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=b, a,b\in\IR[/mm]
> Beweisen Sie
> oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
> Falls [mm]a_{n}>0, n\in\IN[/mm] dann gilt a>0
> Guten Abend!!!
Hallo,
> Meine Frage ist eigentlich ganz grundsätzlich wie ich
> daran gehen muss.
Es gibt (wie bereits in der Aufgabe geschrieben wurde) zwei Möglichkeiten: Die erste ist "Aussage beweisen" und die zweite ist "Gegenbeispiel suchen". In manchen Fällen ist das Auffinden eines Gegenbeispiels tatsächlich eine knifflige Sache.
> Irgendwie scheint mir die Behauptung völlig und logisch,
> deshalb bin ich verwundert. Wenn ich mir dass so angucke
> weiß ich einfach nicht wie ich es beweisen soll?!
Wie es mir scheint, ist Dir bereits der Gedanke gekommen, dass man die Aussage (vielleicht) nicht beweisen kann. Fällt Dir denn ein Gegenbeispiel ein? D.h. Um die Aussage zu widerlegen, brauchst Du eine Folge, deren Folgenglieder alle größer als Null sind und die gegen [mm] $a\leqslant [/mm] 0$ (!!!) konvergiert.
Nebenbei beachte: Wegen der Definition der Konvergenz, gibt es jedoch keine Folge, die ausschließlich aus positiven Folgengliedern besteht und gegen ein negatives $a$ konvergiert! Daher musst Du in Deinem Gegenbeispiel $a=0$ haben.
> Vielen Dank für die Tips im Voraus:)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 16.11.2009 | | Autor: | stffn |
Hm ich sitz hier jetzt seit einer halben Stunde komm aber auf kein Ergebnis.
wenn [mm] a_{n}>0 [/mm] muss a doch eigentlich auch immer a>0 sein.
Wenn ich z.B. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{a_{n}} [/mm] nehme, konvergiert diese Folge doch gegen 0, schließt sie aber nicht mit ein?!
Hoffe ich hab nicht komplett in die falsche Richtung gedacht und wäre auch für weitere Tips dankbar.
MfG!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:57 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hm ich sitz hier jetzt seit einer halben Stunde komm aber
> auf kein Ergebnis.
> wenn [mm]a_{n}>0[/mm] muss a doch eigentlich auch immer a>0 sein.
Nein, ist es nicht.
> Wenn ich z.B. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{a_{n}}[/mm]
Was ist [mm] $a_n$? [/mm] Gib doch mal etwas konkretes fuer [mm] $a_n$ [/mm] an.
> nehme, konvergiert diese Folge doch gegen 0, schließt sie
> aber nicht mit ein?!
Wenn [mm] $a_n [/mm] = 1$ ist, dann ist dies die konstante Folge [mm] $\frac{1}{1} [/mm] = 1$. Das konvergiert nicht gegen 0.
Die Idee ist aber schon richtig; du musst nur noch [mm] $a_n$ [/mm] richtig waehlen. Dann bekommst du eine Folge von Elementen $> 0$, die gegen 0 konvergiert.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Di 17.11.2009 | | Autor: | stffn |
Hi!
naja, ich dachte [mm] a_{n} [/mm] für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] heißt, dass a gegen unendlich geht, der Quotient also gegen 0 ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Di 17.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Nein , es geht n gegen [mm] \infty
[/mm]
FRED
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Hallo stffn,
mach doch mal Grenzwertbetrachtungen zu
1) [mm] a_n=\bruch{7}{\wurzel[11]{n}}
[/mm]
2) [mm] a_n=\bruch{e^{n+1}+1}{e^n}
[/mm]
3) [mm] a_n=n^2-(n\cos{n})^2
[/mm]
Bei allen drei Folgen sind alle [mm] a_n>0. [/mm] Und wie stehts mit den Grenzwerten? Existieren sie, und wenn ja, wie bestimmst Du sie?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Di 17.11.2009 | | Autor: | stffn |
Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung. Also weiß nicht mal wie du auf diese Folgen gekommen bist. Einfach irgendwelche ausgedacht?
Würde jetzt einfach mal sagen dass 1.) und 2.) gegen 0 gehen und 3.) gegen [mm] \infty.
[/mm]
Aber - selbst wenn es stimmen sollte - was es mir bringt, keine Ahnung.
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Hallo stffn,
> Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung. Also weiß nicht mal
> wie du auf diese Folgen gekommen bist. Einfach irgendwelche
> ausgedacht?
Genau.
> Würde jetzt einfach mal sagen dass 1.) und 2.) gegen 0
> gehen und 3.) gegen [mm]\infty.[/mm]
1) gegen 0, 2) gegen e, 3) ist blöd: sie hat keinen Grenzwert, sondern kommt immer wieder beliebig nahe an Null, wächst aber zugleich über jede Größe hinaus.
> Aber - selbst wenn es stimmen sollte - was es mir bringt,
> keine Ahnung.
Naja, Du hast es so hingeworfen: gibt es denn Folgen, bei denen jedes Glied größer als Null ist, die aber trotzdem den Grenzwert Null haben? Was würde Dir die Existenz einer solchen Folge zu Deiner Aufgabe sagen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 17.11.2009 | | Autor: | horus00 |
bearbeite die Frage gerade...
Ich weiss, dass die Behauptung git, weshalb man sie allgemein beweisen muss.
wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})=a \Rightarrow [/mm]
[mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon>0 [/mm] für alle n>N [mm] \in\IN
[/mm]
wir haben dann die Info [mm] a_{n}>0....
[/mm]
wie kann ich hier umformen, oder die Aussage deutlich machen???
da mir immer Ideen beim Erstellen der Threads kommen...
>>>>kann ich einfach [mm] \varepsilon=0 [/mm] setzen???
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Hallo horus00,
> bearbeite die Frage gerade...
> Ich weiss, dass die Behauptung git, weshalb man sie
> allgemein beweisen muss. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Und das, wo doch hier im thread schon ein lupenreines Gegenbeispiel zu der Aussage steht??
Nimm doch am einfachsten [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] $a_n=\frac{1}{n}>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] aber [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a=... [/mm] \ [mm] \not> [/mm] 0$
>
> wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})=a \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm] mit [mm]\varepsilon>0[/mm] für alle n>N
> [mm]\in\IN[/mm]
>
> wir haben dann die Info [mm]a_{n}>0....[/mm]
>
> wie kann ich hier umformen, oder die Aussage deutlich
> machen???
>
> da mir immer Ideen beim Erstellen der Threads kommen...
> >>>>kann ich einfach [mm]\varepsilon=0[/mm] setzen???
Keinen Plan, was du da vorhast...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Di 17.11.2009 | | Autor: | horus00 |
Sorry, vercheckt. DANKE. closed
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