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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 05.10.2011 | | Autor: | hilbert |
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^n}{k!} [/mm] soll untersucht werden für sehr großes n.
Habe ich mit Quotientenkriterium versucht also:
[mm] \bruch{(k+1)^{n} * k!}{k^n * (k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)^{n-1}}{k^n}
[/mm]
das kann ich dann doch nach oben abschätzen mit [mm] (\bruch{k+1}{k})^n
[/mm]
= [mm] (1+\bruch{1}{k})^n. [/mm] Würde da jetzt kein n sondern k stehen könnte ich das mit e abschätzen.
Was habe ich hier wieder falsch gemacht? =/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 05.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{k^n}{k!}[/mm] soll untersucht werden
> für sehr großes n.
>
> Habe ich mit Quotientenkriterium versucht also:
>
> [mm]\bruch{(k+1)^{n} * k!}{k^n * (k+1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+1)^{n-1}}{k^n}[/mm]
>
> das kann ich dann doch nach oben abschätzen mit
> [mm](\bruch{k+1}{k})^n[/mm]
Ja, das kannst Du, aber damit bist Du weit übers Ziel hinausgesch0ssen !
>
> = [mm](1+\bruch{1}{k})^n.[/mm] Würde da jetzt kein n sondern k
> stehen könnte ich das mit e abschätzen.
Ja, wenn und würde, tuts aber nicht !
>
> Was habe ich hier wieder falsch gemacht? =/
Nichts. Du warst nur zu grob .
Wir setzen [mm] a_k:= \bruch{k^n}{k!} [/mm] und wenden das Quotientenkriterium gaaaaaaaaaaaaanz behutsam an:
[mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k}= \bruch{1}{k+1}*(\bruch{k+1}{k})^n.
[/mm]
Und gegen was strebt das, wenn k [mm] \to \infty [/mm] geht ? Und was sagt das Quotientenkriterium dazu ?
FRED
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