Reihe auf konvergenz prüf. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Fr 04.01.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
folgende Reihe soll auf konvergenz überprüft werden:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{n-1}}{-n^{n}}
[/mm]
das wurzelkriterium schlägt fehl. beim das qk macht nicht viel sinn....
lg
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Hallo,
deine Reihe ist etwas seltsam bis falsch (was soll das Gleichheitszeichen) aufgeschrieben. Soll das so aussehen:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{-n^n}[/mm] ?
Der Sinn des Minsuszeichen erschließt sich mir nicht, aber es spielt auch keine Rolle (man kann es vor das Summenzeichen ziehen).
Wenn du dir mal klar machst, wie beim Ausmultiplizieren der Klammer im Zähler der Summand mit dem größten Exponenten aussieht, dann sollte eigentlich sofort klar sein, dass die Reihe divergiert.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Fr 04.01.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo,
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> deine Reihe ist etwas seltsam bis falsch (was soll das
> Gleichheitszeichen) aufgeschrieben. Soll das so aussehen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}[/mm] ?
sorry das Gleichheitszeichen gehört natürlich weg und um -n ne klammer also [mm] (-n)^n
[/mm]
>
> Der Sinn des Minsuszeichen erschließt sich mir nicht, aber
> es spielt auch keine Rolle (man kann es vor das
> Summenzeichen ziehen).
>
> Wenn du dir mal klar machst, wie beim Ausmultiplizieren der
> Klammer im Zähler der Summand mit dem größten Exponenten
> aussieht, dann sollte eigentlich sofort klar sein, dass die
> Reihe divergiert.
im zähler ist der größte summand ^(n-1). Im Nenner ^n. Also erinnert dies an 1/n was divergent ist. ist dies korrekt?
>
>
> Gruß, Diophant
>
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Hallo,
> im zähler ist der größte summand ^(n-1). Im Nenner ^n.
> Also erinnert dies an 1/n was divergent ist. ist dies
> korrekt?
Ja, aber die korrekte Schreibweise mit dem Minus in der Klammer ändert natürlich alles. Was weiß man denn so über alternierende Reihen, für welche die Beträge der Reihenglieder eine monotone Nullfolge bilden? 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Fr 04.01.2013 | | Autor: | nero08 |
danke für deine Hilfe. hab mich an den beitrag von marcel gehalten und eben auch mithilfe des Leibniz(worauf ja auch du angespielt hast) die Konvergenz der reihe gezeigt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> folgende Reihe soll auf konvergenz überprüft werden:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^{n-1}}{-n^{n}}[/mm]
es ist
[mm] $$\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n*\frac{1}{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n*\frac{1}{n+1}\ge 2*\frac{1}{n+1}$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge 1\,.$
[/mm]
(Bekanntlich ist ja [mm] ${((1\;+\;1/n)^n)}_n$ [/mm] monoton wachsend (gegen [mm] $e\,$).)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 04.01.2013 | | Autor: | nero08 |
h!
> Hallo,
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> > Hallo!
> >
> > folgende Reihe soll auf konvergenz überprüft werden:
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}[/mm]
>
sorry um das (-n) gehärt ne klammer
> es ist
> [mm]\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n*\frac{1}{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n*\frac{1}{n+1}\ge 2*\frac{1}{n+1}[/mm]
>
> für alle [mm]n \ge 1\,.[/mm]
> (Bekanntlich ist ja
> [mm]{((1\;+\;1/n)^n)}_n[/mm] monoton wachsend (gegen [mm]e\,[/mm]).)
>
gut, aber damit hast du ja nur mal gezeigt, dass es sich um eine nullfolge handelt?
> Gruß,
> Marcel
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> h!
>
> > Hallo,
> >
> > > Hallo!
> > >
> > > folgende Reihe soll auf konvergenz überprüft werden:
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}[/mm]
> >
> sorry um das (-n) gehärt ne klammer
> > es ist
> >
> [mm]\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n*\frac{1}{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n*\frac{1}{n+1}\ge 2*\frac{1}{n+1}[/mm]
>
> >
> > für alle [mm]n \ge 1\,.[/mm]
> > (Bekanntlich ist ja
> > [mm]{((1\;+\;1/n)^n)}_n[/mm] monoton wachsend (gegen [mm]e\,[/mm]).)
> >
>
> gut, aber damit hast du ja nur mal gezeigt, dass es sich um
> eine nullfolge handelt?
ne, wenn die Reihe so hieße,wie Du oben schriebst:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n+1)^{n-1}}{\red{-\;n}^{n}}$$ [/mm]
also ohne Klammer um das [mm] $-n\,$ [/mm] im Nenner, dann wäre damit erkannt,
dass diese Reihe divergiert, weil [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1}$ [/mm] divergiert. (Denn für
[mm] $-\;\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n+1)^{n-1}}{\red{-\;n}^{n}}=\summe_{n=1}^{\infty}\;-\;\bruch{(n+1)^{n-1}}{\red{-\;n}^{n}}$ [/mm] hätten wir dann eine divergente Minorante gefunden!)
Aber wenn die Reihe in Wahrheit so aussieht:
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}\,:$$
[/mm]
Wegen
[mm] $$\bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}=(-1)^n*\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}*\frac{1}{n+1}$$
[/mm]
liegt es dann nahe, zu gucken, ob man das Leibnizkriterium anwenden
kann. Beachte dabei aber, dass Du nachzurechnen hast, dass bzw. ob
[mm] $${\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}*\frac{1}{n+1}\right)}_n$$
[/mm]
eine MONOTON FALLENDE NULLFOLGE ist. (Es würde schon reichen, dass
ein Endstück dieser Folge eine monoton fallende Nullfolge ist!)
P.S. Besser ist es vielleicht, so umzuformen:
[mm] $$\bruch{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}*\frac{1}{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}*\frac{1}{n+1}*\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}*\frac{n}{(n+1)^2}\,,$$
[/mm]
denn hier weiß man, dass [mm] ${\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)}_n$ [/mm] monoton fallend (gegen [mm] $e\,$) [/mm] ist und dass auch
[mm] ${(n/(n+1)^2)}_n$ [/mm] monoton fallend - und zwar gegen Null - ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Fr 04.01.2013 | | Autor: | nero08 |
dankeschön!
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