Reihe berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 So 15.02.2009 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | | Berechnen sie eine summenzeichenfreie Darstellung von s(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] i [mm] 2^{n-i}. [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage nur hier gestellt.
Ich habe versucht obige Reihe zu berechnen wie folgt:
[mm] 2^{n} \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{i} \bruch{1}{2}^{j} [/mm] = [mm] 2^{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] (1- [mm] \bruch{1}{2}^{i}) [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] (n - [mm] (\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2}^{i})) [/mm] = [mm] 2^{n} [/mm] (n - (1 - [mm] \bruch{1}{2}^{n}))
[/mm]
Leider scheint diese Formel nicht zu stimmen. Ich weiß nur nicht wo genau mein Fehler ist. Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich übe für eine Informatikklausur und habe schon einige Reihen umgeformt. Bei dieser komme ich einfach nicht auf das richtige Ergebnis.
Vielen Dank!
LG
Alexander
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Hallo erstmal......
Es gilt:
[mm] $\sum_{i=1}^n i\cdot 2^{n-i}=\sum_{i=1}^ni\cdot 2^n\cdot 2^{-i}=2^n\cdot \sum_{i=1}^n i\cdot 2^{-i}=2^n\cdot \sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i}$
[/mm]
Fällt dir jetzt was auf ?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 So 15.02.2009 | | Autor: | alexmart |
Hallo Mathmark,
leider komm ich einfach nicht drauf, was du mir mit der Umformung sagen willst. Ich sehe es leider nicht. Im Nenner erkenne ich die geometrische Reihe und im Zähler die Gauß'sche Summe, wenn ich den Bruch getrennt betrachte.
Nur was bringt mir das?
MFG
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo erstmal......
>
> Es gilt:
> [mm]\sum_{i=1}^n i\cdot 2^{n-i}=\sum_{i=1}^ni\cdot 2^n\cdot 2^{-i}=2^n\cdot \sum_{i=1}^n i\cdot 2^{-i}=2^n\cdot \sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i}[/mm]
>
> Fällt dir jetzt was auf ?
>
> Gruß
Hallo Mathmark,
ich habe mir die ersten Folgenglieder der Partialsumme aufgestellt und dabei mit etwas Probieren (und einem glücklichen Händchen) relativ schnell eine Gesetztmäßigkeit erkannt.
Jetzt meine Frage an dich:
Hat [mm] \sum_{i=1}^n \frac{i}{2^i} [/mm] eine explizite Darstellung, die man (als elementares Grundwissen) kennen sollte?
Ich konnte damit erst mal nicht sofort etwas anfangen. Spielt die Reihe in einem mir nicht bekannten Zusammenhang eine wichtige Rolle?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 So 15.02.2009 | | Autor: | Mathmark |
Hallo abakus !!!
Es war genauso gedacht, wie du es gemacht hast. Ich ging davon aus, dass er selber dann die Reihe durch "Probieren" vereinfachen kann.
Sorry für die verwirrung
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 So 15.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen sie eine summenzeichenfreie Darstellung von s(n)
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] i [mm]2^{n-i}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage nur hier gestellt.
>
> Ich habe versucht obige Reihe zu berechnen wie folgt:
>
> [mm]2^{n} \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{i} \bruch{1}{2}^{j}[/mm] =
> [mm]2^{n} \summe_{i=1}^{n}[/mm] (1- [mm]\bruch{1}{2}^{i})[/mm] = [mm]2^{n}[/mm] (n -
> [mm](\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2}^{i}))[/mm] = [mm]2^{n}[/mm] (n - (1 -
> [mm]\bruch{1}{2}^{n}))[/mm]
>
> Leider scheint diese Formel nicht zu stimmen. Ich weiß nur
> nicht wo genau mein Fehler ist. Kann mir da jemand
> weiterhelfen? Ich übe für eine Informatikklausur und habe
> schon einige Reihen umgeformt. Bei dieser komme ich einfach
> nicht auf das richtige Ergebnis.
>
> Vielen Dank!
>
> LG
> Alexander
Hallo,
wenn man die Folge der Partialsummen bildet und dabei [mm] 2^n [/mm] ausklammert, dann gilt
[mm] s_1=2^n\cdot \bruch{1}{2},
[/mm]
[mm] s_2=2^n\cdot \bruch{4}{4},
[/mm]
[mm] s_3=2^n\cdot \bruch{11}{8},
[/mm]
[mm] s_4=2^n\cdot \bruch{26}{16},
[/mm]
[mm] s_5=2^n\cdot \bruch{57}{32},
[/mm]
usw.
Die Darstellung der Nennerfolge ist trivial.
Für die Zähler gilt:
1=4-3
4=8-4
11=16-5
26=32-6
57=64-7
usw.
Damit durfte einer expliziten Darstellung von [mm] s_n [/mm] nichts mehr im Wege stehen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 15.02.2009 | | Autor: | alexmart |
Hallo Abakus,
danke!
Die summenzeichenfreie Darstellung müsste also lauten:
[mm] \bruch{2^{n+1} - 2 - i}{2^{n}}
[/mm]
Die Methodik finde ich gut und werde ich mir merken.
MFG
Alexander
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Hallo !!!
Ich glaube nicht.
wie wärs mit: [mm] $s(i)=2^n\cdot\frac{2^{i+1}-(i+2)}{2^i}$ [/mm] ?
Damit wäre dann [mm] $s(n)=2^{n+1}-(n+2)$, [/mm] oder ?
Gruß
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