Reihe konvergent od. divergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 So 23.10.2011 | | Autor: | Reducer |
| Aufgabe | Zeige die Konvergenz oder Divergenz der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{6}+2n^{4}+n}{2n^{6}+5n^{3}+1} [/mm] |
Hallo Leute
Ich habe kämpfe gerade mit der Analysis:S
Hoffe ihr könnt mir bei dem Problem weiterhelfen.
Über die Quotienregel bin ich hier gelandet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{((n+1)^{6}+2(n+1)^{4}+(n+1))(2n^{6}+5n^{3}+1)}{(2(n+1)^{6}+5(n+1)^{3}+1)(n^{6}+2n^{4}+n)} \right|
[/mm]
Nun habe ich keine Ahnung wie weiter...kann nichts kürzen und möchte einfach schnell wissen ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Vielen Dank für Eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Reducer und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeige die Konvergenz oder Divergenz der folgenden Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{6}+2n^{4}+n}{2n^{6}+5n^{3}+1}[/mm]
> Hallo Leute
>
> Ich habe kämpfe gerade mit der Analysis:S
>
> Hoffe ihr könnt mir bei dem Problem weiterhelfen.
>
> Über die Quotienregel bin ich hier gelandet:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{((n+1)^{6}+2(n+1)^{4}+(n+1))(2n^{6}+5n^{3}+1)}{(2(n+1)^{6}+5(n+1)^{3}+1)(n^{6}+2n^{4}+n)} \right|[/mm]
>
> Nun habe ich keine Ahnung wie weiter...kann nichts kürzen
> und möchte einfach schnell wissen ob ich auf dem richtigen
> Weg bin.
Der Weg ist kein guter, denn das QK liefert als Grenzwert "leider" eine 1. Damit bekommst du bzgl. Konvergenz oder Divergenz der Reihe keine Aussage ...
Die höchsten Potenzen (mitsamt Koeffizient) von n in Zähler und Nenner ist ja [mm]2n^6[/mm]
Hier bist du doch schnell mit dem Trivialkriterium dabei.
Es gilt doch [mm]\sum a_n[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow \ (a_n)_{n\in\IN}[/mm] ist Nullfolge, was mit Kontraposition äquivalent dazu ist:
[mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] keine Nullfolge, dann ist die Reihe [mm]\sum a_n[/mm] divergent
Bildet [mm]\left(\bruch{n^{6}+2n^{4}+n}{2n^{6}+5n^{3}+1}\right)_{n\in\IN}[/mm] eine Nullfolge?
> Vielen Dank für Eure Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 23.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Hallo schachuzipus
Na das ging ja zackig;) Danke für den Hinweis!
Da hab ich wohl vor lauter Bäume den Wald nicht mehr gesehen.
Wenn ich also für
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{6}+2n^{4}+n}{2n^{6}+5n^{3}+1}
[/mm]
[mm] n_{1}=1 [/mm] einsetze, erhalte ich 0.67
[mm] n_{2}=2 [/mm] 0,58
Die Folge geht also gegen 0 (reichen zwei n-Werte als Beweis?), ist eine Nullfolge und damit konvergent.
Hoffe dass ich das richtig kapiert habe..
Gruss Reducer
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Alter Schwede,
da hast du aber einen Unsinn verzapft!
Uiuiui ...
Das musst du nochmal stark überdenken!
> Hallo schachuzipus
>
> Na das ging ja zackig;) Danke für den Hinweis!
>
> Da hab ich wohl vor lauter Bäume den Wald nicht mehr
> gesehen.
>
> Wenn ich also für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{6}+2n^{4}+n}{2n^{6}+5n^{3}+1}[/mm]
>
> [mm]n_{1}=1[/mm] einsetze, erhalte ich 0.67
> [mm]n_{2}=2[/mm] 0,58
>
> Die Folge geht also gegen 0
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") Hoho, nee nee, das "also" finde ich cool!
Setze mal [mm]n=100[/mm] ein ...
Beweise formal, dass die Folge gegen [mm]\frac{1}{2}[/mm] konvergiert.
Klammere dazu in Zähler und Nenner die höchste Potenz von [mm]n[/mm] aus, also [mm]n^6[/mm], kürze das weg und lasse dann [mm]n\to\infty[/mm] gehen ...
> (reichen zwei n-Werte als
> Beweis?),
natürlich nicht!
> ist eine Nullfolge und damit konvergent.
Nein, wenn die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist, kannst du nix über Konvergenz der Reihe sagen, siehe die harmonische Reihe!
Es sind sowohl [mm]\left(1/n\right)_{n\in\IN}[/mm] als auch [mm]\left(1/n^2\right)_{n\in\IN}[/mm] Nullfolgen, aber [mm]\sum_n\frac{1}{n}[/mm] ist divergent, [mm]\sum_n\frac{1}{n^2}[/mm] ist konvergent!
Es gilt in die andere Richtung, das habe ich doch geschrieben!
Wenn du weißt, dass [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] keine Nullfolge ist, dann ist die zugeh. Reihe [mm]\sum_n a_n[/mm] divergent.
>
> Hoffe dass ich das richtig kapiert habe..
Nee, leider noch ganz und gar nicht!
Arbeite den thread in Ruhe nochmal durch, dann wird das aber schon 
> Gruss Reducer
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 23.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Uups :(
Ja war defintiv Schwachsinn..sorry
Okay dann ist jetzt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{6}(1+\bruch{2}{n^2}+\bruch{n}{n^{6}})}{n^{6}(2+\bruch{5}{n^{3}}+\bruch{1}{n^{6}})}
[/mm]
[mm] n^{6} [/mm] fällt weg, die Nenner werden dabei alle [mm] \infty, [/mm] Brüche fallen weg, was bleibt ist [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
der Grenzwert der Reihe existiert, die Reihe konvergiert und die Folge geht gegen 0
Denke so sollte es hinkommen:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 So 23.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> Uups :(
> Ja war defintiv Schwachsinn..sorry
>
> Okay dann ist jetzt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{6}(1+\bruch{2}{n^2}+\bruch{n}{n^{6}})}{n^{6}(2+\bruch{5}{n^{3}}+\bruch{1}{n^{6}})}[/mm]
>
> [mm]n^{6}[/mm] fällt weg, die Nenner werden dabei alle [mm]\infty,[/mm]
> Brüche fallen weg, was bleibt ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> der Grenzwert der Reihe existiert, die Reihe konvergiert
> und die Folge geht gegen 0
Zwei Fehler: Erstens geht die Folge nicht gegen 0 sondern gegen [mm] $\bruch [/mm] {1 + 0 + 0} {2+0+0}=1/2$. Zweitens: Selbst wenn sie es täte, folgt daraus nicht, daß die Reihe konvergiert. Sondern umgekehrt: Wenn die Folge nicht gegen $0$ konvergiert, dann divergiert die Reihe. Und dieser Fall liegt hier vor.
Gruß,
Wolfgang
>
> Denke so sollte es hinkommen:)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 So 23.10.2011 | | Autor: | Reducer |
Hallo Wolfgang
Danke für dein Feedback
Das Ganze ist für mich noch etwas verwirlich;) muss diese Definitionen wohl noch verinnerlichen..
Auf jeden Fall danke für die Korrektur
Gruss
Reducer
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