Reihe konvergiert wenn 2^{n} < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:50 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $(a_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] $a_{0} \ge a_{1} [/mm] .... [mm] \ge [/mm] 0$.
a) Die Reihe [mm] $\sum_{n \in \IN} a_{n}$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn die Reihe [mm] $\sum_{n \in \IN} 2^{n} a_{2^{n}}$ [/mm] konvergiert.
b) Falls [mm] $\sum_{n\in \IN} a_{n}$ [/mm] konvergiert, dann folgt daraus [mm] $lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] (n [mm] a_{n}) [/mm] = 0$ |
Hallo,
also gegeben ist eine monoton fallende und beschränkte Folge.
a) Es ist : [mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : | [mm] \sum_{k=n}^{m} 2^{n} a_{2^{n}} [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] \ [mm] \forall [/mm] m [mm] \ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $a_{2^{n}}$ [/mm] muss eine Nullfolge sein weil [mm] $2^{n}$ [/mm] keine ist.
Da jedes [mm] $2^{n}$ [/mm] te Glied auch in [mm] $a_{n}$ [/mm] enthalten ist , muss gelten :
[mm] $|\sum a^{2n}| \le |\sum a_{n}| \le |\sum 2^{n} a_{2^{n}}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] $
b) konvergiert [mm] $\sum a_{n}$ [/mm] dann muss [mm] $a_{n}$ [/mm] eine Nullfolge sein, also gilt $lim [mm] a_{n} [/mm] = 0 $
Aus dem Produktsatz für Folgen gilt dann $lim n [mm] \cdot [/mm] lim [mm] a_{n} [/mm] = lim n [mm] a_{n} [/mm] = 0 $
Ist das so richtig?
Danke für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Fr 05.08.2011 | | Autor: | Nisse |
> a) Es ist : [mm]\forall \epsilon >0 \ \exists N \in \IN : | \sum_{k=n}^{m} 2^{n} a_{2^{n}} | < \epsilon \ \forall m \ge n \ge N[/mm]
"Genau dann" heißt allermeistens, dass zwei Richtungen gezeigt werden müssen [mm]"\Leftrightarrow " = "\Leftarrow " \wedge "\Rightarrow "[/mm]
Bei dir geht es nur um die Rückrichtung. Du müsstest zusätzlich noch die Hinrichtung zeigen. (Warum muß ich jetzt an "Game of Thrones" denken...)
> [mm]a_{2^{n}}[/mm] muss eine Nullfolge sein weil [mm]2^{n}[/mm] keine ist.
Richtiges Ergebnis, aber aus falschem Argument gefolgert. Die Indexfolge kann keine Nullfolge sein, da sie nur aus natürlichen Zahlen besteht. Eine natürliche Nullfolge wäre fast konstant null.
> Da jedes [mm]2^{n}[/mm] te Glied auch in [mm]a_{n}[/mm] enthalten ist , muss
> gelten :
>
> [mm]|\sum a^{2n}| \le |\sum a_{n}| \le |\sum 2^{n} a_{2^{n}}| < \epsilon[/mm]
Mit deinen Überlegungen ist die erste Abschätzung klar, die zweite aber nicht.
> b) konvergiert [mm]\sum a_{n}[/mm] dann muss [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge
> sein, also gilt [mm]lim a_{n} = 0[/mm]
>
> Aus dem Produktsatz für Folgen gilt dann [mm]lim n \cdot lim a_{n} = lim n a_{n} = 0[/mm]
Dann würde auch gelten:
[mm] 1 = \lim 1 = \lim \frac{n}{n} = \lim \frac{1}{n} \cdot \lim n= 0 \cdot \lim n = 0[/mm]
Die Grenzwertsätze gelten nur für existierende Grenzwerte, also für konvergente Folgen mit Grenzwert [mm]\neq \pm \infty[/mm].
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Hallo kushkush,
> Sei $ [mm] (a_{n})_{n\in \IN} [/mm] $ eine Folge reeller Zahlen mit $ [mm] a_{0} \ge a_{1} [/mm] .... [mm] \ge [/mm] 0 $.
>
> b) Falls $ [mm] \sum_{n\in \IN} a_{n} [/mm] $ konvergiert, dann folgt daraus $ [mm] lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] (n [mm] a_{n}) [/mm] = 0 $
zu dieser Teilaufgabe schau mal in diesem Thread nach.
LG
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Nisse und kamaleonti,
> Game of Thrones
Bald ist Winter...
> falsches Argument
Ich meine das $2^{n}$ so:
wenn $ \sum_{k=n}^{m} q_{k} := \sum_{k=n}^{m} 2^{n}a_{2^{n}}$ dann ist $b_{k}:=2^{n}$. Und $q_{k} = b_{k}a_{k} = 2^{n}a_{2^{n}$ Und weil $b_{k}$ nicht eine Nullfolge ist muss $a_{n}$ eine Nullfolge sein damit die Reihe konvergieren kann.
Aus der Monotonie und Beschränktheit folgt:
$0\le |a_{2^{n}}| \le |a_{n}| \ \forall n \in \IN $
und : $0\le |\sum a_{2^{n}} | \le |\sum a_{n}|$
Es ist $\sum 2^{n}a_{2^{n}} = (\sum 2^{n}) (\sum a_{2^{n}}) = \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k} \sum_{n=0}^{m} a_{2^{n}}$
Angenommen $\sum a_{2^{n}}$ divergiert, dann divergiert auch $\sum 2^{n}a_{2^{n}}$ also muss $\sum a_{2^{n}}$ konvergieren. Damit ist:
$\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \IN \ \forall m \ge n \ge N : 0 \le |\sum a_{2^{n}} | \le |\sum a_{n}| < \epsilon $
Das stimmt aber nicht weil das Produkt zweier divergenter Reihen auch konvergent sein kann!!!!!
> Schau hier
> LG
Danke euch beiden!!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 07.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Fr 05.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm]a_{0} \ge a_{1} .... \ge 0[/mm].
>
> a) Die Reihe [mm]\sum_{n \in \IN} a_{n}[/mm] konvergiert genau dann,
> wenn die Reihe [mm]\sum_{n \in \IN} 2^{n} a_{2^{n}}[/mm]
> konvergiert.
>
> b) Falls [mm]\sum_{n\in \IN} a_{n}[/mm] konvergiert, dann folgt
> daraus [mm]lim_{n\rightarrow \infty} (n a_{n}) = 0[/mm]
> Hallo,
>
>
> also gegeben ist eine monoton fallende und beschränkte
> Folge.
>
>
> a) Es ist : [mm]\forall \epsilon >0 \ \exists N \in \IN : | \sum_{k=n}^{m} 2^{n} a_{2^{n}} | < \epsilon \ \forall m \ge n \ge N[/mm]
>
> [mm]a_{2^{n}}[/mm] muss eine Nullfolge sein weil [mm]2^{n}[/mm] keine ist.
> Da jedes [mm]2^{n}[/mm] te Glied auch in [mm]a_{n}[/mm] enthalten ist , muss
> gelten :
>
> [mm]|\sum a^{2n}| \le |\sum a_{n}| \le |\sum 2^{n} a_{2^{n}}| < \epsilon[/mm]
>
> b) konvergiert [mm]\sum a_{n}[/mm] dann muss [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge
> sein, also gilt [mm]lim a_{n} = 0[/mm]
>
> Aus dem Produktsatz für Folgen gilt dann [mm]lim n \cdot lim a_{n} = lim n a_{n} = 0[/mm]
>
>
> Ist das so richtig?
>
>
> Danke für jegliche Hilfestellung.
Hallo Kushkush,
hast du dir die Summe schon mal "einzeln" aufgeschrieben?
Nehmen wir mal an, die Summation beginnt mit n=0.
Dann gilt
[mm] \sum_{n=0}^{m} 2^{n} a_{2^{n}}=1*a_1+2*a_2+4*a_4+8*a_8....
[/mm]
[mm] =a_1 [/mm]
[mm] +a_2+a_2
[/mm]
[mm] +a_4+a_4+a_4+a_4
[/mm]
[mm] +a_8+a_8+a_8+a_8+a_8+a_8+a_8+a_8
[/mm]
+...
und diese Summe ist (weil [mm] a_0\ge a_1\ge a_2\ge a_3...) [/mm] kleiner als
[mm] a_1 [/mm]
[mm] +a_2+a_3
[/mm]
[mm] +a_4+a_5+a_6+a_7
[/mm]
[mm] +a_8+a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}
[/mm]
+...
Macht es Klick?
Gruß Abakus
>
>
>
> Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo abakus,
> summe aufschreiben
So kann man auch zeigen dass die harmonische Reihe divergiert...
mit [mm] $a_{n}$ [/mm] monoton fallend und beschränkt, [mm] $\sum 2^{n}a_{2^{n}}$ [/mm] konvergent:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] 0\le |\sum_{k=n}^{m} a_{2^{n}} [/mm] | [mm] \le \sum_{k=n}^{m} 2^{n}a_{2^{n}} \le |\sum_{k=n}^{m} a_{n} [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] \ [mm] \forall m\ge n\ge [/mm] N $
damit ist [mm] $\sum_{k=n}^{m} 2^{n}a_{2^{n}}$ [/mm] eine MInorante bzw. bei Rückrichtung [mm] $\sum a_{n}$ [/mm] eine Majorante.
So OK?
> GruB abakus
Danke!!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Fr 05.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
>
> > summe aufschreiben
>
>
> So kann man auch zeigen dass die harmonische Reihe
> divergiert...
You know.... 
>
> mit [mm]a_{n}[/mm] monoton fallend und beschränkt, [mm]\sum 2^{n}a_{2^{n}}[/mm]
> konvergent:
>
> [mm]\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \IN : 0\le |\sum_{k=n}^{m} a_{2^{n}} | \le \sum_{k=n}^{m} 2^{n}a_{2^{n}} \le |\sum_{k=n}^{m} a_{n} | < \epsilon \ \forall m\ge n\ge N[/mm]
>
>
> damit ist [mm]\sum_{k=n}^{m} 2^{n}a_{2^{n}}[/mm] eine MInorante bzw.
> bei Rückrichtung [mm]\sum a_{n}[/mm] eine Majorante.
Darauf wollte ich hinaus.
Schönen Abend noch!
Abakus
>
>
> So OK?
>
>
> > GruB abakus
>
> Danke!!!
>
>
> Gruss
> kushkush
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