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| Aufgabe | Für n [mm] \in \IN [/mm] setzte man [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] -1, n > 0.
(a) zeigen Sie, dass
n = [mm] (1+x_{n})^{n} [/mm] > [mm] \bruch{n(n-1)}{2}*x_{n}^{2}
[/mm]
und folgern Sie daraus, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1
[/mm]
(b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen in
z [mm] \in \IC:
[/mm]
1) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^{2}z^{n}
[/mm]
2) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^{n}}{n^{3}}*z^{n} [/mm] |
Hallo zusammen, kann mir da jemand helfen???
Danke im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Jojo987 |
Hallo,
Hast du es denn schon mit Vollständiger Induktion versucht?
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Hi,
bei der 1. solltest du es mal mit dem binomischen Lehrsatz versuchen
und bei der 2:
Für den Konvergenzradius R gilt: [mm] R=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
Wo genau liegt dann da dein Problem?
Gruß Patrick
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Hi!
Danke erstmal!
Aber was ist der binomische Lehrsatz??
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Es gilt: [mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] ${n [mm] \choose [/mm] k}$ [mm] a^{n-k}*b^k
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mattemonster!
Nun setze doch mal $a \ := \ 1$ sowie $b \ := \ [mm] x_n$ [/mm] in o.g. Formel ein und schreibe die ersten Glieder auf.
Gruß
Loddar
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Ok, die Formal für den Konvergenzradius ist mir schon klar... aber dann hab ich R = [mm] R=\frac{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^{2}}} [/mm]
Und was ist der lim sup jetzt???
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ok, der lim sup ist 1, würd ich sagen..aber wie zeig ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Albtalrobin!
Der Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] \ = \ 1$ sollte bekannt sein.
Damit kannst Du hier umformen und o.g. Grenzwert anwenden: [mm] $\wurzel[n]{n^2} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel[n]{n} \ \right)^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Kann mir vieleicht nochmal jemand bei der a) helfen?? ich muss das ohne den binomischen Lehrsatz zeigen....
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Albtalrobin,
ohne den binom. Lehrsatz ist das schwierig.
Es läuft hier bei dem Beweis darauf hinaus, die Folge $(\sqrt[n]{n})_{n\in\IN}$ zwischen zwei Folgen $(a_n)_{n\in\IN}, (b_n)_{n\in\IN}$ "einzuquetschen", die ihrerseits gegen 1 konvergieren.
Also sowas hinzubasteln wie $a_n \ \le \ \sqrt[n]{n} \ \le \ b_n$ mit $a_n, b_n\longrightarrow 1$ für $n\to\infty$
Dann konvergiert auch $\sqrt[n]{n}$ nach dem Sandwich-Lemma gegen 1
Dazu sind halt Abschätzungen nötig
Zum einen kennst du ja bestimmt die Folge $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n_{n\in\IN}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n_{n\in\IN}$
Die ist (streng) monoton wachsend und konvergiert gegen die eulersche Zahl $e$
Also $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\le 3\le n$ für $n\ge 3$
Damit $\red{1+\frac{1}{n}\le\sqrt[n]{n} \ \ (\star)}$
Andererseits ist mit dem binom. Lehrsatz und deinen Festlegungen ganz oben:
$n=(1+x_n)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x_n^k \ > \ \frac{n(n-1)}{2}\cdot{}x_n^2$
Lasse einfach alle Summanden für $k\neq 2$ weg, da alle Summanden positiv sind, verkleinerst du so die Summe
Also $n > \frac{n(n-1)}{2}\cdot{}x_n^2 \qquad \mid \cdot{}\frac{2}{n(n-1)}$ auf beiden Seiten
$\Rightarrow \frac{2}{n-1} > x_n^2 \qquad \mid \sqrt{(..)}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{n-1}} > x_n \ \qquad \mid+1$ auf beiden Seiten:
$\Rightarrow \blue{1+\sqrt{\frac{2}{n-1}} > 1+x_n =\sqrt[n]{n} \ \ (\star\star)$
Also hast du mit $\red{(\star)}$ und $\blue{(\star\star)}$ die Einschließung
$\underbrace{1+\frac{1}{n}}_{=a_n} \ \le \ \sqrt[n]{n} \ < \ \underbrace{1+\sqrt{\frac{2}{n-1}}}_{:=b_n}$ gefunden
Nun gilt ja ersichtlich $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=1$
Also mit dem Sandwich-Lemma auch $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$
LG
schachuzipus
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