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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Ich hätte mal ne kurze Frage:
Wenn eine Reihe [mm] (1)\summe_{n=1}^{ \infty}a_{n} [/mm] durch ihre Summanden
(2) [mm] a_{2k-1} [/mm] und
(3) [mm] a_{2k}
[/mm]
gegeben ist und ich die Frage nach der Konvergenz von (1) beantworten möchte, reicht es dann die Reihe der Summanden (2) und die von (3) seperat auf Konvergenz zu prüfen?
Wenn sich nämlich beide als konvergent herausstellen, so müsste doch (*) kovergent sein, oder?
Oder ist es angemessener (2) und (3) zu einer Reihe (4) zusammenzufassen, also z.B.
(4)= [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}(a_{2k-1}+ a_{2k})
[/mm]
und dieser die Konvergenz nachzuweisen? ((4) wäre dann ja konvergente Majorante).
Würde mich über Anregungen sehr freuen,
Danke im Voraus,
Nilez
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Sa 11.12.2004 | | Autor: | jmk |
Also zum einen ist (4) nicht nur konvergente Majorante, sondern (4)=(1)
Meiner Meinung nach (ich bin mir da grade ein wenig unsicher), darfst du das so machen wie du willst, weil du hier nur auf endlicher Länge vertauschst (anders ausgedrückt rückt kein Summand unendlich weit nach hinten, z.B. der n-te Summand an die [mm] n^2-te [/mm] Stelle).
Dies ist aber eine alles andere als triviale Aussage, da das Kommutativgesetz, was du hier benutzt, für unendliche Reihen nicht mehr uneingeschränkt gilt!
Im Gegenteil gilt sogar, dass man eine konvergente, nicht absolut konvergente Reihe nur durch umordnen der Summanden (also Kommutativgesetz) gegen jeden (!) beliebigen Grenzwert konvergieren bzw. auch divergieren lassen kann.
Das nennt man auch den Riemannschen Umordnungssatz.
Weiterhin kann es natürlich sehr einfach passieren das deine Einzelreihen (2) und (3) divergieren, aber (1) konvergiert.
Trivialerweise konvergiert die Reihe mit Summand 0, aber die Reihen [mm] a_{n-1}=1 [/mm] und [mm] a_{2n}=-1 [/mm] divergieren.
Es wird wohl am sinnvollsten Sein wenn du die Reihen richtig aufschreibst, d.h. in der Form 4 und dann versuchst die Konvergenz zu zeigen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Danke für deine Antwort!
Ich hab darüber nachgedacht und bin zu dem Entschluss gekommen, dass konvergente Reihen (auch [mm] \pm \infty) [/mm] gliedweise addiert werden können, solange nicht der Ausdruck [mm] "\infty- \infty" [/mm] herauskommt.
Demzufolge sollte dass zusammenfassen von (2) und (3) zu (4) bei pos. Summanden von (2) und (3) möglich sein.
Andersherum könnte ich auch (2) und (3) seperat untersuchen und dann jenachdem welche Aussagen ich über deren Konvergenz treffen kann, Rückschlüsse auf (4) ziehen, also:
konv.+ konv. =konv.
div. + konv. =div.
+ [mm] \infty+ [/mm] + [mm] \infty= [/mm] div.
Stimmst du soweit mit mir überein?
Grüße,
Nilez
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 12.12.2004 | | Autor: | jmk |
Reihen die gegen [mm] \pm\infty [/mm] gehen, d.h. bestimmt divergieren, konvergieren nicht und dürfen streng genommen noch nicht einmal als [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] aufgeschrieben werden, da dieser Ausdruck dann nicht definiert ist.
Bei positiven Summanden darfst du sie zusammenfassen wenn sie konvergieren, da dann absolute konvergenz besteht und man dann umordnen kann wie man möchte.
Deine Schlüsse
konv+konv=konv
div+konv=div
[mm] \infty+\infty=\infty
[/mm]
halte ich für sehr fragwürdig, insbesondere der 2. scheint eine große Chance zu haben falsch zu sein, allerdings brauchen alle UNBEDINGT einen Beweis, es sei denn du hast absolut konvergente Reihen. Vielleicht ist der Beweis ganz einfach aber es auf jeden Fall nicht offensichtlich, da es sich um unendliche Reihen handelt.
Ich hab leider grad nicht genügend Zeit mir mehr Gedanken dazu zu machen, es kann sein das du Recht hast aber ich bezweifle es.
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