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| Aufgabe | | Wenn [mm] \summe_{i=1}^{\infty}x_{n} [/mm] konvergiert, und es gilt xn [mm] \ge0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Dann folgt [mm] \summe_{i=1}^{\infty} x_{n}^{2}. [/mm] |
Hallo,
ich habe eine komplexere Aufgabe zu beweisen, die allerdings diesen oben angegebenen Schritt voraussetzt..Ich wrde also zunächst gerne die oben formulierte Aufgabenstellung beweisen und dies auch am liebsten mit dem Majorantenkriterium...allerdings krieg ichs partour nicht hin, hat jemand einen Tip?
Danke!
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Hiho,
offensichtlich ist [mm] $\summe_{i=k}^{\infty}x_{n}$ [/mm] eine Majorante, ab einem gewissen k, denn:
[mm] $\summe_{i=1}^{\infty}x_{n}$ [/mm] konvergiert, deswegen [mm] $x_n \to [/mm] 0$.
D.h. es gibt ein [mm] $k\in [/mm] N$, so dass $0 [mm] \le x_n \le [/mm] 1$ ab k......
Naja, ich denke mal, den Rest kriegst du hin.
MFG;
Gono.
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ab einem bestimmten k werden die xn also einfach kleiner als 1..soweit ist es mir halt auch klar, aber ich frag mich halt, ob ich das als majorante hinschreiben kann...ich kann ja nur sagen, dass dies ab einem bestimmten k gilt..oder? d.h ich kann aber nicht sagen dass xn zum quadrat prinzipiell kleiner is als irgendwas mal xn...oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissPocahontas!
> ab einem bestimmten k werden die xn also einfach kleiner
> als 1..soweit ist es mir halt auch klar, aber ich frag mich
> halt, ob ich das als majorante hinschreiben kann...
Klar!
> ich kann ja nur sagen, dass dies ab einem bestimmten k gilt..oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Und das reicht auch aus.
Schließlich ergibt die Partialsumme bis zum $k-1_$-ten Glied einen endlichen Wert.
> d.h ich kann aber nicht sagen dass xn zum quadrat
> prinzipiell kleiner is als irgendwas mal xn...oder?
Nein, dass kann man nicht sagen. Aber ... siehe oben!
Gruß
Loddar
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DANKE dir...
Und formal schreibt man das einfach so hin? also, dass dies ab einem bestimmten k gilt ;) und das die anderen ne summe von endlich vielen is...oder gibts da auch was Mathematikertypisches, wie man das schreibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mi 21.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, man schreibt einfach ,dass alle folgeglieder ab einem festen k kleiner sind, und deshalb die Summe über die [mm] x_n [/mm] ab diesem k größer ist(dass eine endliche summe nen endlichen Wert hat ist so trivial, dass mans i.A. nicht hinschreibt.
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Do 22.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> DANKE dir...
> Und formal schreibt man das einfach so hin? also, dass
> dies ab einem bestimmten k gilt ;) und das die anderen ne
> summe von endlich vielen is...oder gibts da auch was
> Mathematikertypisches, wie man das schreibt?
Es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: $0 [mm] \le x_n \le [/mm] 1$ für n>N. Dann folgt:
[mm] $x_n^2 \le x_n$ [/mm] für n>N
Jetzt Majorantenkriterium.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Mi 21.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Also ich denk mal, du weißt, dass wenn diese Reihe konvergieren soll, muss [mm] (x_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge sein laut Cauchy-Kriterium. Also liegen doch alle Folgenglieder bis auf endlich viele in einer kleinen Umgebung um 0. Potenziert man das ganze gehen diese unendlich vielen Folgenglieder natürlich noch stärker gegen 0.
Soweit zur Idee...
Viele Grüße
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